2.7.1 函数的连续性
连续变化是自然界中的普遍规律之一，比如气温的变化，动植物的生长，物体的运动等，都是连续地变化着的，这种现象用函数关系来反映的话，就是函数的连续性.比如就气温的变化这种现象来看，当时间变化很微小时，气温的变化也很微小，其图像又如坐标系中一条连续而无间隙的曲线上的点，当横坐标变化很小时，它的纵坐标变化也很小，为了便于描述连续这一自然现象的本质特性，一般需要先引入增量的概念，然后描述函数的连续性.
定义2.7.1 设变量u从它的一个初值u1变到终值u2，终值与初值的差u2-u1就称为变量u的增量，记作Δu，即
Δu＝u2-u1
增量可以是正的，也可以是负的.当Δu为正时，变量u从u1变到u2＝u1+Δu时是增大的；当Δu为负时，变量u从u1变到u2＝u1+Δu时是减小的.
设函数y＝f（x）在点x0的某一个邻域内有定义，当自变量x在这邻域内从x0变到点x＝x0+Δu时，相应的函数值y从f（x0）变到f（x0+Δx），一般称Δx为自变量的增量（即改变量），而称
Δy＝f(x)-f(x0)＝f(x0+Δx)-f(x0)
为函数的增量（即改变量）.
函数y＝f（x）的增量Δy表示当自变量从x0变到x0+Δx时，曲线上相应点的纵坐标的增量，如图2.14所示.
从图2.14可以看出，若保持自变量x0不变而让自变量的增量Δx→0时，相应地函数y的增量Δy也要随着变动且Δy也趋于零，那么就称函数在点x0处是连续的.下面给出连续的定义.
定义2.7.2 设函数y＝f（x）在点x0的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量Δx＝x-x0趋于0时，对应的函数的增量Δy＝f（x+Δx）-f（x0）也趋于零，即有
图2.14 函数的增量
那么就称函数y＝f（x）在点x0处连续.
若设Δx＝x-x0，则Δx→0，也就是x→x0，又因为
Δy＝f(x0+Δx)-f(x0)＝f(x)-f(x0)
即
f(x)＝f(x0)+Δy
所以Δy→0也就是f（x）→f（x0），因此定义2中
也可表示为
因此下面给出函数在一点处连续定义的另一种表述.
定义2.7.3 设函数y＝f（x）在点x0的某一邻域内有定义，如果
那么就称函数f（x）在点x0处连续.
注：根据函数连续性的定义，函数f（x）在点x0处连续必须具备下列三个条件.
（1）函数f（x）在点x0处有定义，即f（x0）存在；
（2）极限
存在；
(3)
.
由于函数的连续性也是以极限的形式来表述的，所以函数的连续也可以用“ε-δ”语言来描述：∀ε＞0，∃δ＞0，当
，恒有
.
类似于函数的左右极限，函数也有左右连续，下面给出左连续和右连续的概念.
函数f（x）在点x0的某左侧邻域内有定义，如果
存在且等于f（x0），即(https://www.daowen.com)
就说函数f（x）在点x0处左连续.
函数f（x）在点x0的某右侧邻域内有定义，如果
存在且等于f（x0），即
就说函数f（x）在点x0处右连续.
函数f（x）在点x0处连续的充分必要条件是：函数f（x）在点x0处既左连续又右连续，即
在开区间上每一点都连续的函数，称为在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续，如果区间包括端点即闭区间，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续.
注：函数f（x）在点x0的某一邻域内有定义和极限
存在是函数f（x）在点x0处连续的必要条件.
从几何上看，连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
例2.7.1 证明多项式函数P（x）＝a0+a1x+…+anxn在任意实数x0处连续.
证明 因为
所以多项式函数P（x）＝a0+a1x+…+anxn在任意实数x0处连续.
有理分式函数
为多项式函数）.当Q（x0）≠0时，对定义域内的任意实数x0都有
，所以有理函数在其定义域内的每一点都是连续的.
例2.7.2 证明函数y＝sinx在区间（-∞，+∞）内是连续的.
证明 设x是区间（-∞，+∞）内任意取定的一点，当x有增量Δx时，对应的函数增量为
因为
所以
由夹逼定理得，当Δx→0时，Δy→0，进而有Δy→0，
这便证明了函数y＝sinx对于任何x∈（-∞，+∞）是连续的.
类似地，可以仿此方法证明y＝cosx在（-∞，+∞）上的连续性.
例2.7.3 讨论函数
在x＝0处的连续性.
解 根据有界函数和无穷小的乘积仍为无穷小，有
所以函数f（x）在x＝0处是连续的.
例2.7.4 讨论函数
处的连续性.
解 因为
f（x）在x＝0右连续，但不左连续，所以f（x）在x＝0不连续.
