2.7.2 函数的间断点
如果x0不是函数f（x）的连续点，则称x0为f（x）的不连续点或间断点.只要将函数连续的概念给予否定即得函数间断的概念.
定义2.7.4 设函数f（x）在点x0的某一去心邻域内有定义，如果f（x）有下列三种情形之一：
（1）f（x）在点x0处没有定义，即f（x0）不存在；
（2）f（x）在点x0处有定义，但
不存在；
（3）f（x）在点x0处有定义
也存在，但
；
则函数f（x）在点x0不连续，点x0称为函数f（x）的不连续点或间断点.
下面举例说明函数间断点的几种常见类型，并给出函数间断点的分类.
例2.7.5 讨论正切函数y＝tanx在点
处的连续性.
解 正切函数y＝tanx在点
处没有定义，所以点
是函数y＝tanx的间断点.又因为
所以一般称
为函数的无穷间断点，如图2.15所示.
例2.7.6 讨论函数
在 点x＝0处的连续性.
解 因为函数
在点x＝0处没有定义，所以x＝0是函数
的间断点.又因为当x→0时，函数值在-1与+1之间变动无限多次，如图2.16所示，所以将点x＝0称为函数
的 振荡间断点.
图2.15 函数y＝tanx的无穷间断点
图2.16 函数
的振荡间断点
例2.7.7 讨论函数
在点x＝1处的连续性.
解 因为函数
在点x＝1处没有定义，所以x＝1是这函数的间断点，如图2.17所示，又因为(https://www.daowen.com)
如果补充在x＝1处的定义：令x＝1时，y＝2，则函数在点x＝1就成为连续.因此，点x＝1称为函数
的可去间断点.
例2.7.8 讨论函数
在x＝1处的连续性.
解 因为
，又
，所以
所以，点x＝1是函数f（x）的间断点，如图2.18所示，如果改变函数f（x）在x＝1处的定义，令f（1）＝1，则f（x）在x＝1处成为连续.
图2.17 函数
的可去间断点
图2.18 函数f（x）在x＝1处的间断点
例2.7.9 讨论函数
在x＝0处的连续性.
解 当x→0时
左极限和右极限都存在，但不相等，故极限
不存在，所以x＝0是f（x）的间断点.因为y＝f（x）的图形在x＝0处产生跳跃现象，一般称x＝0为函数f（x）的跳跃间断点.
根据间断点的原因，函数的间断点可以分为以下几种类型.
设x0为函数f（x）的间断点：
（1）如果f（x）在x0处的左极限
、右极限
）都存在，则称点x0为函数f（x）的第一类间断点，若左、右极限存在但不相等，即
，则称点x0为第一类跳跃间断点；若左、右极限存在且相等即
，则称点x0为第一类可去间断点.
（2）不是第一类间断点的任何间断点，都称为第二类间断点，其特点是f（x）在x0处的左极限
、右极限
至少有一个不存在.若左右极限中有一个为∞，则称x0为第二类无穷间断点；若左右极限中有一个为振荡的，则称x0为第二类振荡间断点.
