2.8.2　反函数与复合函数的连续性

由第1章函数我们可知，区间I上的单调增（或减）函数y＝f（x）的反函数x＝φ（y）必存在，且x＝φ（y）在值域区间f（I）上也是单调增加（或减少）的.又因为函数与其反函数的图像关于y＝x对称，所以，如果y＝f（x）是一条连续而不间断的曲线，那么它的反函数x＝φ（y）也是一条连续而不间断的曲线，因此可得下面的反函数连续性定理.

定理2.8.2　如果函数y＝f（x）在区间Ix上单调增加（或减少）且连续，那么它的反函数x＝φ（y）也在对应的区间Iy{y|y＝f（x），x∈Ix}上单调增加（或减少）且连续.

例2.8.1　由于y＝sinx在区间单调增加且连续，根据上述定理，其反函数y＝arcsinx在区间[-1，1]上连续.(https://www.daowen.com)

同理可得y＝arccosx在区间[-1，1]上单调减少且连续，y＝arctanx在区间（-∞，+∞）内单调增加且连续；y＝arccotx在区间（-∞，+∞）内单调减少且连续.总之，反三角函数在其定义域内连续.

指数函数ax（a＞0，a≠1）与ex在区间（-∞，+∞）内是单调和连续的，它的值域为（0，+∞），由反函数连续性定理2.8.2可得，它的反函数y＝logax（a＞0，a≠1）与lnx在定义区间（0，+∞）内单调且连续.