2.8.4　初等函数的连续性

2.8.4　初等函数的连续性

由上面的讨论可知，三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.

指数函数ax（a＞0，a≠1）与ex在其定义域（-∞，+∞）内是连续的，它的反函数对数函数y＝logax（a＞0，a≠1）与lnx在其定义域（0，+∞）内是连续的.

幂函数y＝xμ在其定义域内是连续的.

所以给出下面的定理.

定理2.8.5　基本初等函数在其定义域内是连续的.

由于初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合构成的，所以由定理2.8.1和定理2.8.4可以得出下面另一个结论.

定理2.8.6　一切初等函数在其定义区间内都是连续的.

定义区间是指包含在定义域内的区间.

注：（1）初等函数仅在其定义区间内连续，在其定义域内不一定连续；

例如，其定义域为D∶x＝0，±2π，±4π…，这些孤立点的邻域内没有定义，所以在定义域内不连续；(https://www.daowen.com)

再如，其定义域为D∶x＝0，及x≥1，在0点的邻域内没有定义，所以函数在其定义域内不连续，但函数在区间[1，+∞）上是连续的.

（2）由函数在一点连续的定义即初等函数的连续性，可得初等函数求极限的方法可采用代入法，即若f（x）是初等函数，x0是其定义区间内的点，则.

例2.8.7　求.

解　函数为初等函数，x＝0是它的连续点，所以有

例2.8.8　求

解　

例2.8.9　函数在x＝0处连续，求a的值.

解　因为要使f（0-）＝f（0+）＝f（0），即可得a＝1.

所以，当且仅当a＝1时，函数f（x）在x＝0处连续.