2.8.3 复合函数的连续性
定理2.8.3 设函数u＝g（x）当x→x0时的极限存在且等于a，即
，而函数y＝f（u）在点u＝a处连续，即
，那么复合函数y＝f[g（x）]当x→x0时的极限也存在且等于f（a），即
证明 因为y＝f（u）在点u＝a处连续，所以对∀ε＞0，∃η＞0当
时，恒有
成立.
又因为
，所以对∀η＞0，∃δ＞0，当
时，恒有
成立.
将上两步合起来，得
当
时，恒有
成立.
所以
.
注：定理2.8.3表明，在满足该定理的条件下，求复合函数y＝f[g（x）]的极限时，函数符号与极限符号可以交换次序.
例2.8.2 
.
解 由定理2.8.3，有
例2.8.3 
.
解 
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例2.8.4 
解 
一般地，对于形如u（x）v（x）（u（x）＞0，u（x）≠1）的函数（通常称为幂指函数），如果limu（x）＝a＞0，limv（x）＝b，则limu（x）v（x）＝ab.所以，上例可以简化为
因为
所以
定理2.8.4 设函数u＝g（x）在点x＝x0连续，且g（x0）＝u0，而函数y＝f（u）在点u＝u0连续，那么复合函数y＝f[g（x）]在点x＝x0也连续.
证明 定理2.8.4的条件要强于定理2.8.3，g（x0）＝u0表示g（x）在点x0连续，根据定理2.8.3可得
即复合函数y＝f[g（x）]在点x＝x0连续.
注：定理2.8.4是定理2.8.3的特殊情况.
例2.8.5 幂函数y＝xμ（μ为常数）的定义域随μ值的变化而变化，但无论μ为何值，在区间（0，+∞）内总有定义，设x＞0，则
y＝xμ＝eμlnx
所以，幂函数y＝xμ可看作y＝eu与u＝μlnx构成的复合函数，根据定理2.8.4，它在（0，+∞）内连续.对于μ取各种不同值的情形，可以证明幂函数在它的定义域内是连续的.
例2.8.6 讨论函数
的 连续性.
解 函数
可 看作由y＝sinu与
复合而成，sinu在-∞＜u＜∞时是连续的
在 -∞＜x＜0和0＜x＜∞时是连续的.根据定理2.8.4可知，函数sin
在区间（-∞，0）和（0，+∞）内是连续的.
