2.9.1　有界性与最大值、最小值定理

2.9.1　有界性与最大值、最小值定理

定义2.9.1　对于在区间I上有定义的函数f（x），如果有x0∈I，使得对于任一x∈I，都有

f（x）≤f（x0）或f（x）≥f（x0）

则称f（x0）是函数f（x）在区间I上的最大值或最小值.

函数的最大值和最小值统称为函数的最值，最大值用M来表示，最小值用m来表示.使函数取得最大值或最小值的点称为函数的最大值点或最小值点.函数的最大值点和最小值点统称为函数的最值点.

例如，函数y＝1+cosx在区间[0，2π]上有最大值M＝ymax（0）＝2，最小值m＝ymin（π）＝0；函数在闭区间[1，2]上有最大值M＝ymax（1）＝1，最小值M＝ymax，但在（0，1]上没有最大值，如图2.19所示.

函数y＝x在开区间（a，b）内没有最大值和最小值，如图2.19所示.函数y＝C在开区间（-∞，+∞）上的最大值和最小值都等于C，即M＝m＝C（最大值和最小值可以相等）.函数具有什么样的条件肯定存在最大值和最小值呢？下面给出函数具有最值的充分条件.

定理2.9.1（最大值和最小值定理）　在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值.

定理2.9.1的几何意义：若f（x）为闭区间[a，b]上的连续函数，则存在ξ1，ξ2∈[a，b]，使得任意的x∈[a，b]有f（ξ1）≥f（x）和f（ξ2）≤f（x），也即最大值M＝f（ξ1），最小值m＝f（ξ3），如图2.20所示.

注：（1）若区间是开区间，定理不一定成立，即有的成立有的不成立；

图2.19　函数和y＝x

例如，函数y＝sinx在连续，无最大值和最小值，如图2.21所示；函数y＝sinx在（0，2π）连续，有最大值M＝1和最小值m＝-1.

（2）若区间内有间断点，定理不一定成立；

图2.20　定理2.9.1的几何意义(https://www.daowen.com)

图2.21　函数y＝sinx的最值情况

例如，若函数在区间[0，2]上有间断点x＝1，则没有最大值和最小值，如图2.22所示.

而函数在[-1，1]上有间断点x＝0，也仍有最大值M＝2，最小值m＝-2，如图2.23所示.

图2.22　函数f（x）在x＝1处间断

图2.23　函数f（x）在x＝0处间断

所以闭区间上函数连续的条件只是充分条件，而不是必要条件.

定理2.9.2（有界性定理）　在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.

证明　设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，由定理2.9.1可知，一定存在最大值M和最小值m，使得对任意的x∈[a，b]，都有

m≤f(x)≤M

取，则对任意的x∈[a，b]都有

所以，函数f（x）在闭区间[a，b]上有界.