2.9.2　零点定理与介值定理

2.9.2　零点定理与介值定理

如果存在点x0使f（x0）＝0，那么点x0就称为函数f（x）的零点.

定理2.9.3（零点定理）　设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号（即f（a）f（b）＜0），那么在开区间（a，b）内至少有函数f（x）的一个零点，即至少有一点ξ（a＜ξ＜b）使得f（ξ）＝0.

定理2.9.3的几何解释：如果连续曲线y＝f（x）的两个端点位于x轴的不同侧，则曲线与x轴至少有一个交点，如图2.24所示.

定理中的ξ是方程f（x）＝0在开区间（a，b）内的一个实根，所以常用定理2.9.3讨论方程是否存在实根以及实根的大致位置，所以该定理也被称为根的存在定理.

例2.9.1　证明：方程x3-4x2+1＝0在区间（0，1）内至少有一实根.

证明　令f（x）＝x3-4x2+1，则f（x）在闭区间[0，1]上连续，又因为f（0）＝1＞0，f（1）＝-2＜0，由零点定理有，至少存在一点ξ∈（0，1）使得f（ξ）＝0，即ξ3-4ξ2+1＝0，所以方程x3-4x2+1＝0在区间（0，1）内至少有一实根ξ.

例2.9.2　设函数f（x）在区间[a，b]上连续，且f（a）＜a，f（b）＞b，证明该函数存在ξ∈（a，b），使得f（ξ）＝ξ.

证明　令F（x）＝f（x）-x，则F（x）在闭区间[a，b]上连续，又F（a）＝f（a）-a＜0，F（b）＝f（b）-b＞0，由零点定理有，至少存在一点ξ∈（a，b），使得F（ξ）＝f（ξ）-ξ＝0，即f（ξ）＝ξ.

图2.24　定理2.9.3的几何解释

例2.9.3　证明方程x＝asinx+b（a＞0，b＞0）至少有一个正根，并且它不超过a+b.

证明　令f（x）＝x-asinx-b，则f（x）在[0，a+b]上连续，又

f(a+b)＝a+b-asin(a+b)-b＝a·[1-sin(a+b)]≥0

f(0)＝-b＜0

若f（a+b）＝0，则取ζ＝a+b；

若f（a+b）＞0，且f（0）＜0，则由零点定理有，至少存在一点η∈（0，a+b），使得f（η）＝0.

综合上面两种情况可得，至少存在一点ξ∈（0，a+b]，使得f（ξ）＝0，即方程x＝asinx+b至少有一个不超过a+b的正根.

零点定理中的条件要求区间端点的函数值异号限制了定理的应用范围.下面给出应用更为广泛的介质定理.

定理2.9.4（介值定理）　设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值(https://www.daowen.com)

f（a）＝A　及　f（b）＝B

那么，对于A与B之间的任意一个常数C，在开区间（a，b）内至少有一点ξ，使得

f(ξ)＝C　(a＜ξ＜b)

证明　设F（x）＝f（x）-C，则F（x）在闭区间[a，b]上连续，又由于C是介于A与B之间的任意一个数，所以F（a）＝f（a）-C与F（b）＝f（b）-C异号，也即F（a）F（b）＜0，则由零点定理有，至少存在一点ξ∈（a，b），使得F（ξ）＝0，即f（ξ）＝C.

定理2.9.4的几何解释：在闭区间[a，b]上的连续曲线y＝f（x）与介于y＝f（a）和y＝f（b）之间的任意一条直线y＝C至少有一个交点，如图2.25所示.

例如，气温的变化，从-5℃变化到10℃，温度变化必然经过-5℃到10℃之间的一切温度值.

推论2.9.1　在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.

证明　设m＝f（x1），M＝f（x2），而m≠M，在闭区间[x1，x2]（或[x2，x1]）上应用介值定理，即得上述结论.

例2.9.4　若f（x）在闭区间[a，b]上连续，且a＜x1＜x2＜…＜xn＜b，证明：在区间[x1，xn]内至少存在一点ξ∈（a，b），使得

图2.25　介质定理和介质定理推论的几何解释

证明　因为f（x）在闭区间[a，b]上连续，所以f（x）在[x1，xn]上连续.由最值定理有f（x）在[x1，xn]上有最大值M和最小值m，即

m≤f(x1),f(x2),…,f(xn)≤M

也即

由介质定理的推论有，至少存在一点ξ∈（a，b），使得