3.1.1　问题的提出

3.1.1　问题的提出

微分学的基本概念——导数，来源于实际生活，在自然科学的许多领域都有着广泛的应用，导数的概念最初是从确定变速直线运动的瞬时速度及寻找平面曲线的切线斜率产生的.下面来看以下两个例子.

引例3.1.1　变速直线运动中某时刻的瞬时速度问题.

在自然界和日常生活中，人们经常会遇到直线运动，对于匀速运动来说，物体走完某一段路程的平均速度可表示为

但是在实际问题中，往往遇到的是非匀速运动，平均速度不能描述物体在某一时刻的运动状态，为了准确描述物体在运动过程中的这种变化，就必须讨论物体在运动过程中某一时刻的速度，即瞬时速度，如图3.1所示.

设一物体做变速直线运动，其运动方程为

S＝S(t)

它表示物体运动的路程S与经历的时间t之间的函数关系，如图3.2所示.当t＝t0时，其对应的路程为S（t0），当自变量t获得增量Δt时，相应物体运动路程S的增量为

ΔS＝S(t0+Δt)-S(t0)

图3.1　自由落体运动

图3.2　物体运动图示

在时间段Δt内，物体运动的平均速度为

(https://www.daowen.com)

它反映了在时间段[t0，t0+Δt]内物体运动的平均速度，并不能精确反映在t0时刻的速度，很显然，当 无限小时，v¯越接近物体在t0时刻的瞬时速度，若令Δt→0，对上式取极限，则有

如果极限存在，记为¯v（t0），即

此时这个极限值v（t0）称为物体在t0时刻的瞬时速度.

引例3.1.2　平面曲线在某点处切线的斜率问题.

曲线的切线和割线的关系如图3.3所示，设一曲线y＝f（x），在其上一点M附近任取一点N，作割线MN，当点N沿曲线移动而趋向于点M时，割线MN的极限位置MT就称为曲线在点M处的切线.也即切线MT为当割线MN趋于零（∠NMT也趋于零）时，割线的极限位置.下面以极限的形式来表示.

设曲线在定点M（x0，f（x0））处的切线斜率为tanα，α为切线MT与x轴的夹角.点N为点M的一个邻近点，其坐标为（x0+Δx，f（x0+Δx）），设割线MN与x轴的夹角为φ，则割线MN的斜率为

图3.3　曲线的切线与割线关系

令点N沿曲线y＝f（x）移动并无限趋近于定点M，即令Δx→0（同时有Δy→0），使割线MN绕M点转动，无限趋近于切线MT的位置，若在Δx→0时，上面式子的极限存在，并设为k，即

极限值k是割线斜率的极限，也就是切线的斜率.