3.1.3　可导与连续的关系

3.1.3　可导与连续的关系

若函数y＝f（x）在x＝x0处可导，则由导数的定义，有

由无穷小与函数极限的关系（定理2.3.1）可知

式中，α为Δx→0时的无穷小，则有

Δy＝f′(x0)Δx+αΔx

上式左右两端取极限，有

由函数在一点处连续的定义可知函数f（x）在x＝x0处连续.所以有如下定理.

定理3.1.2　若函数f（x）在x＝x0处可导，则函数f（x）在x＝x0处连续.(https://www.daowen.com)

注：虽然可导必连续，但是连续不一定可导，即函数f（x）在x＝x0处连续，仅仅是函数f（x）在x＝x0处可导的必要条件，而不是充分条件，同时还可以得出：函数f（x）在x＝x0处不连续，则函数f（x）在x＝x0处一定不可导；函数f（x）在x＝x0处不可导，则函数f（x）在x＝x0处不一定连续.下面举例说明连续性和可导性的关系.

例3.1.9　讨论函数在点x＝0处的连续性与可导性.

解　先讨论函数f（x）在x＝0处的连续性，由于

所以在x＝0处连续

再讨论f（x）在x＝0处的可导性，由于

左导数

右导数

显然f′-（0）≠f′+（0），所以在x＝0处不可导.