3.1.2 导数的概念
从上述两个例子可以看出，变速直线运动在某时刻的瞬时速度和平面曲线在某点处切线的斜率这两类问题的具体意义各不相同，但从抽象出的数学形式来看都是相同的，它们都可归结为计算函数的增量与自变量增量之比当自变量增量趋于零时的极限，即
在自然科学和工程技术领域中都会碰到这样类似的问题，比如加速度、线密度、面密度、电流强度、比热、化学反应速度等，这些问题的实际意义也完全不同，但是解决问题的方法却是一样的，为此，剔除这些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的共性，就可以得出函数导数的概念.
1.函数在某一点处的导数
定义3.1.1 设函数y＝f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量Δx（Δx≠0，x0+Δx也在该邻域内），相应地函数y取得增量Δy＝f（x0+Δx）-f（x0）；若Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y＝f（x）在x0处可导，并称这个极限为函数y＝f（x）在点x0处的导数，记作f′（x0），即
也可以记作
.
上述极限存在时，就称函数f（x）在点x0处可导或导数存在；若上述极限值不存在，就称f（x）在点x0处不可导或者导数不存在；若不可导的原因是因为
为了方便也称函数f（x）在点x0处的导数为无穷大.
在导数的定义中，如果固定x0，令x0+Δx＝x，当Δx→0时，x→x0，则f（x）在点x0处的导数还可以表示为
若自变量的增量Δx以h来表示时，f（x）在点x0处的导数又可以表示为
有了导数的定义，前面两个实例就可以表示如下：
（1）变速直线运动的物体在t0时刻的瞬时速度为路程s在t0时刻对时间t的导数，即
（2）平面曲线上点（x0，y0）处切线的斜率k为曲线纵坐标y在x0处对横坐标x的导数，即
例3.1.1 求函数f（x）＝x2-2x在x0＝2处的导数.
解 利用导数的定义，在x0＝2处，当自变量的增量为Δx时，函数y相应的增量Δy为
Δy＝(x+Δx)2-2(x+Δx)-(x2-2x)＝2xΔx+(Δx)2-2Δx
所以，在点x0＝2处，函数f（x）＝x2-2x的导数为
2.单侧导数
由导数的定义可知，导数是用一个极限式来定义的，极限有左、右极限之分，类似地导数也有左导数和右导数之别.
定义3.1.2 如果以下两个极限都存在，则把这两个极限分别称为函数f（x）在点x0处的左导数和右导数，记作f′-（x0）和f′+（x0），即
左导数和右导数统称为单侧导数.
定理3.1.1 函数f（x）在点x0处可导的充分必要条件是左导数f′-（x0）和右导数f′+（x0）都存在且相等，即
例3.1.2 讨论函数
在点x＝0处的可导性，如图3.4所示.
解 由导数在某一点处的定义，得
图3.4 函数
图像
当Δx＞0时，
，则
当Δx＜0时，
，则
所以
不存在，即函数
在点x＝0处不可导.
例3.1.3 讨论分段函数
在分段点x0＝0处的可导性.
解 利用左导数定义，得
同样利用右导数定义，得
因为左导数f′-（0）＝1＝右导数f′+（0）＝1，所以分段函数f（x）在分段点x0＝0处的导数为f′（0）＝1.
注：由例3.1.3可知，求分段函数在分段点（也称为分界点）处的导数时，需先求分段点处的左导数和右导数，若左右导数都存在且相等，则函数在分段点处可导，若左右导数至少有一个不存在或者两个都存在但不相等，则函数在分段点处不可导.这里需注意区分什么是分段点.
3.导函数
若函数y＝f（x）在开区间（a，b）内的每一点都可导，则称函数f（x）在开区间（a，b）内可导；若函数y＝f（x）在开区间（a，b）上可导，且在区间的右端点左导数f′-（b）存在，在区间的左端点右导数f′+（a）存在，则称函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上可导.
若函数y＝f（x）在开区间（a，b）内可导，则对于任一个x∈（a，b），都有一个确定导数值f′（x）与x对应，这就得到一个定义在（a，b）上的一个新函数f′（x），它称为原函数y＝f（x）的导函数，记作f′（x），y′，
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将导数定义式中的x0换成x即得导函数的定义为
注：上式中，x可看作常量，Δx为变量，这是根据极限号下的量来确定的.
显然，函数y＝f（x）在x0处的导数就是导函数f′（x）在x＝x0处的函数值，即
导函数和导函数值合称导数，在求导数时，若没有指明是哪一定点处的导数值，则是指求导函数.导函数的定义式一般用来推导基本初等函数的求导公式.
4.函数求导举例
由导数的定义可知，求函数y＝f（x）的导数可以分为以下三个步骤：
（1）求增量：Δy＝f（x+Δx）-f（x）；
（2）算比值
；
（3）取极限
.
下面根据这三个步骤求常数和一些基本初等函数的导数.
例3.1.4 求函数y＝C（C为任意常数）的导数.
解 利用导数的定义，得
即
这就是说，常数函数的导数为零.
例3.1.5 求函数y＝sinx的导数.
解 利用导数的定义，得
即
(sinx)′＝cosx
这就是说正弦函数的导数是余弦函数，类似可求得余弦函数的导数是负的正弦函数，即
(cosx)′＝-sinx
例3.1.6 求函数y＝xn（n∈N+）的导数
解 利用导数的定义，得
更一般地，对于幂函数y＝xμ（μ为常数），有
(xμ)′＝μxμ-1
这就是幂函数的导数公式，这个公式在本章第3.2节中将给予证明.利用这个公式可以很便利地求出幂函数的导数，比如
例3.1.7 求指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的导数.
解 利用导数的定义，得
令当aΔx-1＝t时，Δx＝loga（1+t），当Δx→0时，t→0，所以有
即
(ax)′＝axlna
特别地，当a＝e时，因为lne＝1，所以有
(ex)′＝ex
注：以e为底的指数函数的导数就是它本身，这是以e为底的指数函数的一个重要特征，这在以后的计算以及其他的专业书中会有很重要的应用.
例3.1.8 求对数函数y＝logax（a＞0，a≠1）的导数.
解 由导数的定义，得
即
特别地，当a＝e时，lne＝1，可得自然对数函数的导数公式为
注：在第3.2节反函数求导内容中，y＝logax（a＞0，a≠1）可作为y＝ax（a＞0，a≠1）的反函数来求导.
