3.2.1 求导法则
利用导数的定义可以推导任何函数的导数，但实际上却比较复杂，有时候是非常困难的，为了便于应用，本节将介绍一些函数的基本求导法则，借助于这些法则，可方便地求出常见函数的导数，从而归纳出一些常用的基本初等函数的求导公式.
1.四则运算求导法则
定理3.2.1 设函数u＝u（x），v＝v（x）都在点x处具有导数，那么它们的和、差、积和商（除分母为零外）都在点x处具有导数，且
（1）和差 [u（x）±v（x）]′＝u′（x）±v′（x）
（2）积 [u（x）v（x）]′＝u′（x）v（x）+u（x）v′（x）
特别地 （Cu（x））′＝Cu′（x）
（3）商 
特别地 
四则运算法则可简写为
下面给出法则的证明.
证明：
（1）设函数y＝u（x）±v（x）在动点x处取得改变量Δx，相对应地y的改变量为Δy
Δy＝[u(x+Δx)±v(x+Δx)]-[u(x)±v(x)]
＝[u(x+Δx)-u(x)]±[v(x+Δx)-v(x)]
所以 
＝u′(x)±v′(x)
（2）设函数y＝u（x）v（x）在动点x处取得改变量Δx，相对应地y的改变量为Δy
Δy＝u(x+Δx)v(x+Δx)-u(x)v(x)
＝u(x+Δx)v(x+Δx)-u(x)v(x+Δx)+u(x)v(x+Δx)-u(x)v(x)
＝[u(x+Δx)-u(x)]v(x+Δx)+u(x)[v(x+Δx)-v(x)]
所以
式中
是由于v（x）在x处可导，所以v（x）在点x处必然连续.
（3）设函数
在动点x处取得改变量Δx，相对应地y的改变量为Δy
所以 
式中
是由于v（x）在x处可导，所以v（x）在x处必然连续.
设k1，k2为两个常数，则由法则（1）和（2）可得
[k1u(x)±k2v(x)]′＝k1u′(x)±k2v′(x)
此即为求导运算的线性性质.
法则（1）、（2）和（3）可以推广到任意有限个可导函数的情形，例如，设函数u＝u（x），v＝v（x），w＝w（x）都是x的可导函数，则其和差的导数为
[u(x)±v(x)±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±w′(x)
乘积的导数为
[u(x)v(x)w(x)]′＝u′(x)v(x)w(x)+u(x)v′(x)w(x)+u(x)v(x)w′(x)
注：在求多个函数乘积的导数时，每次不重复地只取其中一个函数求导，其余函数不变，再将所有可能的乘积相加即可.
例3.2.1 设y＝x3lnx-2sinx+3ex-6，求y′.
解 由和、差与积的求导法则，得
y′＝(x3lnx)′-(2sinx)′+(3ex)-(6)′
＝(x3)′lnx+x3(lnx)′-2(sinx)′+3(ex)-(6)′
＝3x2lnx+x2-2cosx+3ex
例3.2.2 设f（x）＝（sinx+cosx）（3x3+2x2），求f′（x）.
解 由积与和、差的求导法则，得
f′(x)＝[(sinx+cosx)(3x3+2x2)]′
＝(sinx+cosx)′(3x3+2x2)+(sinx+cosx)(3x3+2x2)′
＝(cosx-sinx)(3x3+2x2)+(sinx+cosx)(9x2+4x)
＝(3x3+11x2+4x)cosx+(7x2+4x-3x3)sinx
例3.2.3 求函数
的导数.
解 由商的求导法则，得
例3.2.4 求y＝tanx的导数.
解 由商的求导法则，得
即
(tanx)′＝sec2x
用类似的方法可得
(cotx)′＝-csc2x
例3.2.5 求y＝secx的导数.
解 
即
(secx)′＝secxtanx
用类似的方法可得
(cscx)′＝-cscxcotx
2.反函数求导法则
由第2章反函数的连续性可知，如果函数x＝f（y）在区间Iy内单调且连续，则反函数在对应的区间
内也是单调且连续的，下面给出反函数的求导法则.
定理3.2.2 如果函数x＝f（y）在某区间Iy内单调、可导，且f′（y）≠0，则它的反函数y＝f-1（x）在对应的区间
内也可导，且导数为
即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
证明 由于函数x＝f（y）在某区间Iy内单调、可导，所以由第1章反函数的性质以及可导和连续的关系可知其反函数y＝f-1（x）在区间Ix内也是单调且连续的.
任取x∈Ix，给x以增量Δx（Δx≠0，x+Δx∈Ix），由y＝f-1（x）的单调性可知
Δy＝f-1(x+Δx)-f-1(x)≠0
所以
又由于y＝f-1（x）是连续函数，所以Δx→0时，Δy→0，若f′（y）≠0，则有
下面利用反函数的求导法则求出一些常用的反三角函数的导数.
例3.2.6 求函数y＝arcsinx（-1＜x＜1）的导数.
解 y＝arcsinx是x＝siny在
上的反函数，x＝siny单调、可导，且
所以，由反函数的求导法则在对应区间x∈（-1，1），有
即
用类似的方法可得
注：实际上可由三角公式arcsinx+arccos
，即arccos
-arcsinx，利用例3.2.6的结论，也可求得上述反余弦的导数公式.
例3.2.7 求函数y＝arctanx（-∞＜x＜+∞）的导数.
解 y＝arctanx是x＝tany在
上的反函数，x＝tany单调、可导，且(https://www.daowen.com)
所以，由反函数的求导法则在对应区间x∈（-∞，+∞）内，有
又由于sec2y＝1+tan2y＝1+x2，所以
即
用类似的方法可得
注：实际上由三角公式arctanx+arccot
，即arccot
-arctanx，利用例3.2.7的结论，也可求得上述反余切的导数公式.
例3.2.8 求函数y＝logax（a＞0，a≠1）的导数.
解 y＝logax是x＝ay在y∈（-∞，+∞）上的反函数，x＝ay单调、可导，且
所以，由反函数的求导法则在对应区间x∈（0，+∞）内，有
又由于ay＝x，所以
即
在第3.1节中利用导数的定义也求得了这个公式.
3.复合函数求导法则
前面利用导数定义和求导法则求出了一些简单初等函数的导数，但我们并未解决初等函数的求导问题，因为从初等函数的构成来看，除了常数和基本初等函数可以通过四则运算构成初等函数外，复合也是构成函数的一个重要手段，因而复合函数的求导方法是初等函数求导不可或缺的工具，它可以求出形如
，ecos2x等复合函数的导数，下面给出复合函数的求导法则.
定理3.2.3 若函数u＝g（x）在点x处可导，而函数y＝f（u）在相应点u处可导，则复合函数y＝f[g（x）]在点x处可导，且
证明 因为y＝f（u）在u处可导
所以
，由无穷小与函数极限的关系（定理2.3.2），有
式中，o（Δu）是Δu→0时的无穷小，以Δu乘以上式两边得
Δy＝f′(u)Δu+o(Δu)Δu
上式两边同时除以Δx（Δx≠0，Δx→0）得
上式两边同时取极限得
由于函数u＝g（x）在点x处可导，所以u＝g（x）在点x处连续，也即Δx→0时，Δu→0，从而有
所以
注：复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形，也即有限次复合的情形.设复合函数y＝f{g[h（x）]}是由三个可导函数y＝f（u），u＝g（v），v＝h（x）复合而成，则复合函数y＝f{g[h（x）]}的导数为
所以，复合函数的求导法则也称为链式求导法则.
例3.2.9 求函数
的导数.
解 
，可看作由y＝sinu
复合而成，则由复合函数的求导法则，得
所以
例3.2.10 求函数y＝（arcsinx）2的导数.
解 y＝（arcsinx）2可看作由y＝u2，u＝arcsinx复合而成，由复合函数的求导法则，得
所以
例3.2.11 求函数
的导数.
解 
可看作由
复合而成，由复合函数的求导法则，得
所以
例3.2.12 求函数
的导数.
解 
，可看作由y＝lnu，u＝tanv
复合而成，则由复合函数的求导法则，有
所以
例3.2.13 求函数y＝ecos2x的导数.
解 y＝ecos2x，可看作由y＝eu，u＝v2，v＝cosx复合而成，则由复合函数的求导法则，有
所以
注：复合函数的分解比较熟悉之后，可以不必每次都给出中间变量，而是直接进行求导计算，求导时要由外向里，逐层求导.
例3.2.14 设μ为实常数，求出幂函数y＝xμ的导数.
解 先将y＝xμ写成指数式y＝elnxμ＝eμlnx，则有
在第3.1节中的例3.1.4里利用导数定义并未给出上述公式的普遍证明，这里给出了普遍的证明.
总之，求复合函数的导数，要由外向内，一层一层去求导，这就像剥竹笋一样，一层一层剥下去，一直剥到最里层就能找到竹笋，但一次只能剥一层，否则由于竹笋皮是交错的，一次剥两层就会把竹笋皮剥坏，求导也是这样，一层一层导就能求出导数，若一下导两层就会出错，比如求y＝fn[φ（x）]的导数：
y′＝{fn[φ(x)]}′f[φ(x)][φ(x)]′x＝nfn-1[φ(x)]φ′(x)
上面的做法是错误的，因为它一次导了两层，正确的做法应该是
例3.2.15 求函数y＝ln[ln（lnx）]的导数.
解 
例3.2.16 求下列双曲函数的导数.
（1）双曲正弦函数
(2)
解 由和差和积的求导法则，得
又（ex）′＝ex，利用复合函数求导法则得（e-x）′＝-e-x，所以
即
(shx)′＝chx
同样可得
即
(chx)′＝shx
