3.3.1　隐函数的导数

3.3.1　隐函数的导数

由第1.5节可知，部分隐函数可以显化变成显函数，但大部分隐函数不能显化变为显函数，隐函数不易显化或不能显化如何求导？下面给出具体的求导方法.

隐函数的求导法则具体分为三步.

（1）方程两边同时关于x求导，明确y是x的函数；

（2）采用复合函数求导法则求导：

（3）整理方程，求出y′的表达式.

下面通过实例来说明这种方法.

例3.3.1　已知方程ey+xy-e＝0确定隐函数y＝y（x），求.

解　（1）方程两边同时关于x求导：

（2）利用复合函数求导法则求导：

（3）整理得：

注：在隐函数导数的表达式中，一般仍含有x和y，因此仍然是一个隐函数，这是隐函数导数的特点.

例3.3.2　已知隐函数方程y5+2y-x-3x7＝0确定隐函数y＝y（x），求.

解　（1）方程两边同时关于x求导：

(y5+2y-x-3x7)′＝(0)′(https://www.daowen.com)

（2）利用复合函数求导法则求导：

5y4y′+2y′-1-21x6＝0

（3）整理得

当x＝0时，代入隐函数方程y5+2y-x-3x7＝0，得y＝0，将x＝0和y＝0代入y′，得

例3.3.3　求椭圆处的切线方程.

解　本题的关键是利用隐函数的直接求导法求点处的导数值，先采用隐函数求导法.

椭圆方程的两边分别对x求导，有

整理，得

所以，切线斜率值为

利用点斜式直线方程（y-y0）＝y′（x-x0）得到所求的切线方程为