3.3.3　由参数方程确定的函数的导数

由第1章的第1.5节可知，对于由参数方程确定的函数，如果能够消去参数t，也就是将y表示成x的显函数，那么由参数方程确定的函数的求导问题就可以解决了.但事实并非如此，有时候消去参数t很困难甚至是不可行的，这就要求我们直接从参数方程来计算它所确定的函数的导数.下面来讨论由参数方程确定函数的求导方法.

如果函数x＝φ（t）具有单调连续的反函数t＝φ-1（x），且能与函数y＝ψ（t）构成复合函数，则y与x的函数关系就可以用复合函数y＝ψ[φ-1（x）]表示，若x＝φ（t）和y＝ψ（t）都可导，且φ′（t）≠0，则根据复合函数和反函数的求导法则，有

此即为由参数方程确定的函数的求导方法，下面举例说明.

例3.3.7　已知椭圆的参数方程为，求椭圆在时相应点处的切线方程.

解　时，对应点的坐标为

利用参数方程确定的函数求导法求出相应点的斜率为

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代入点斜式方程，可得时的切线方程为

即

例3.3.8　已知抛射物体的运动轨迹的参数方程为，求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向.

解　先求运动速度的大小，抛射物体的速度可以分解为水平分量，垂直分量v2-gt，所以抛射体运动速度的大小为

再求运动速度的方向，也即运动轨迹的切线方向，设α是切线的倾角，则由导数的几何意义，有