3.5.4　复合函数的微分法则

3.5.4　复合函数的微分法则

利用复合函数的求导法则和函数微分的计算公式，可推得复合函数的微分法则.

定理3.5.2（微分形式的不变性）　设函数y＝f（u）和u＝g（x）都可导，则复合函数y＝f[g（x）]的微分是

dy＝(f[g(x)])′dx＝f′(u)g′(x)dx

由于du＝g′（x）dx，所以复合函数y＝f[g（x）]的微分也可以写成

dy＝f′(u)du

所以，函数y＝f（u）不管u是自变量还是中间变量，函数y＝f（u）的微分形式总是dy＝f′（u）du，这一性质称为函数的微分形式不变性.下面举例说明.

例3.5.3　求函数y＝sin（2x+1）的微分.

解　根据微分的定义，有

dy＝[sin(2x+1)]′dx＝2cos(2x+1)dx

另解，根据微分形式的不变性，有

dy＝dsin(2x+1)＝cos(2x+1)d(2x+1)＝2cos(2x+1)dx

例3.5.4　求函数y＝arctane2x的微分.

解　根据微分的定义，有

另解，根据微分形式的不变性，有

(https://www.daowen.com)

例3.5.5　在下列等式左端的括号内填入适当的函数，使等式成立.

(1)d(　)＝x2dx

(2)d(　)＝sinωtdt

解　（1）因为d（x3）＝3x2dx，所以

即

一般地，有

（2）因为d（cosωt）＝-ωsinωtdt，所以

即

一般地，有

注：本题采用的是逆向思维，上述微分的反问题正是不定积分要研究的内容.