4.1.1　费马引理

4.1.1　费马引理

在给出费马引理之前，先定义函数的极值.

定义4.1.1　若函数f（x）在点x0的某邻域U（x0）内，对于一切x∈U（x0），有

f（x）≤f（x0）或f（x）≥f（x0）

则称函数f（x）在点x0取得极大或极小值f（x0），称点x0为极大或极小值点.

极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值，如图4.1所示.

定理4.1.1（费马引理）　设函数f（x）在点x0的某邻域U（x0）内有定义，且在x0处可导.如果点x0为函数f（x）的极值点，那么有f′（x0）＝0.

证明　不妨设点x0是函数f（x）的一个极大值点（对于极小值点的情况可以类似地证明）.

根据定义4.1.1存在点x0的某邻域U（x0），使对于任意x0+Δx∈U（x0），有

f(x0)≥f(x0+Δx)

从而，当Δx＞0时

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当Δx＜0时

图4.1　函数的极大值、极小值

又由f（x）在x0处可导以及函数极限的保号性，得

同理，

所以，f′（x0）＝0.证完

一般称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点）.