习题4.1

1.下面的柯西中值定理的证明方法对吗？错在什么地方？

由于f（x），F（x）在[a，b]上都满足拉格朗日中值定理的条件，故存在点ξ∈（a，b），使得

f(b)-f(a)＝f′(ξ)(b-a)

F(b)-F(a)＝F′(ξ)(b-a)

又对任一x∈（a，b），F（x）≠0，所以上述两式相除即得

2.验证罗尔中值定理对函数y＝x2-5x+4在区间[2，3]上的正确性，并求出ξ.

3.验证拉格朗日定理对函数y＝x4在区间[1，2]上的正确性，并求出ξ.

4.证明：方程x3-3x+C＝0（C为常数）在闭区间[0，1]上不可能有两个不同的实根.

5.证明：arctan.

6.利用拉格朗日中值定理证明下列不等式：

（1）对任意实数a，b，有；(https://www.daowen.com)

（2）如果函数f（x）在[a，b]上可导，且；

（3）设；

（4）当x＞0时；

（5）设.

7.设函数f（x）在上连续，在内可导，且，证明存在一点，使得f（ξ）+tanξ·f′（ξ）＝0.

8.设f（x）在区间[a，b]上连续，在（a，b）内可导，证明：在（a，b）内至少存在一个ξ，使.

9.已知函数f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（0）＝0，f（1）＝1，证明：

（1）存在ξ∈（0，1），使f（ξ）＝1-ξ；

（2）存在两个不同的点η，ζ∈（0，1），使f′（η）f′（ζ）＝1.

10.设f（x）在[a，b]上可微，0＜a＜b，证明：在（a，b）内至少存在一点ξ，使f（b）- .

11.设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且0＜a＜b，证明：存在ξ，η∈（a，b），使.