4.1.2　微分中值定理

4.1.2　微分中值定理

1.罗尔中值定理

定理4.1.2（罗尔中值定理）　若函数f（x）满足：

（1）在闭区间[a，b]上连续；

（2）在开区间（a，b）内可导；

(3)f(a)＝f(b).

则在（a，b）内至少存在一点ξ，使f′（ξ）＝0.

证明　因为f（x）在闭区间[a，b]上连续，根据闭区间上连续函数的最大值最小值性质，f（x）在[a，b]上能取得最大值M和最小值m，则有以下两种情形.

①如果M＝m，这时f（x）为常函数，∀x∈（a，b），都有f′（x）＝0，所以∀ξ∈（a，b），都有f′（ξ）＝0.

②如果M≠m，这时M与m中必有一个不等于f（a）或f（b）.不妨设m≠f（a），有m≠f（b），所以必然有一点ξ在开区间（a，b）内，使得f（ξ）＝m.这样，ξ是f（x）在闭区间[a，b]上的极小值点，由费马引理知，f′（ξ）＝0，证完.

注：定理中三个条件缺一不可，但是定理的条件是充分的，而非必要条件.

罗尔定理的几何意义为：如果一段连续曲线上的每点都存在不垂直于x轴的切线，且两端点高度相同，那么在此曲线上至少有一条水平切线，如图4.2所示.

例4.1.1　对函数f（x）＝x2-2x-3在 区 间[-1，3]上验证罗尔定理的正确性.

解　显然函数f（x）＝x2-2x-3在[-1，3]上连续，在（-1，3）内可导，且由

f（x）＝（x+1）（x-3）知，f（-1）＝f（3）＝0，因此函数f（x）在区间[-1，3]上满足罗尔定理的条件，又f′（x）＝2（x-1），故当ξ＝1（1∈（-1，3））时，有f′（ξ）＝0.

例4.1.2　设p（x）为多项式函数，证明：如果方程p′（x）＝0没有实根，则方程p（x）＝0至多有一个实根.

证明　假设方程p（x）＝0有两个实根x1和x2（x1＜x2），则p（x1）＝p（x2）＝0.因为多项式函数p（x）在[x1，x2]上连续，在（x1，x2）内可导，根据定理4.1.2，必然存在一点ξ∈（x1，x2），使得p′（ξ）＝0，这样就与题设中p′（x）＝0没有实根相矛盾，所以方程p（x）＝0至多有一个实根.

图4.2　罗尔中值定理的几何意义

例4.1.3　设f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（0）＝1 .求证：在（0，1）内至少存在一点ξ，使f′（ξ）＝-e-ξ.

证明　构造辅助函数F（x）＝f（x）-e-x，由函数f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，可知函数F（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且F（0）＝f（0）-e-0＝1-1＝0，F（1）＝，因此，函数F（x）在[0，1]上满足罗尔中值定理的条件，则至少存在一点ξ∈（0，1），使得F′（ξ）＝0，由F′（x）＝f′（x）+e-x，即得f′（ξ）＝-e-ξ.

例4.1.3中利用了构造辅助函数的方法证明中值问题，怎样去构造辅助函数需要读者在证明过程中不断体会.

2.拉格朗日中值定理

由于罗尔中值定理中的条件（3）非常特殊，这就使定理4.1.2在应用的时候受到一些限制.如果把条件（3）去掉，并适当地改变结论，就得到了拉格朗日中值定理，它在微分学中有很重要的作用.

定理4.1.3（拉格朗日中值定理）　若函数f（x）满足：

（1）在闭区间[a，b]上连续；

（2）在开区间（a，b）内可导；

则在（a，b）内至少存在一点ξ，使

f(b)-f(a)＝f′(ξ)(b-a)

成立.

为了便于证明，应熟记并掌握拉格朗日中值定理的几何意义.如果把定理4.1.3的结论改为应该为线段AB的斜率，所以，拉格朗日中值定理的几何意义为：如果一段连续曲线上除端点外任意点都具有不垂直于x轴的切线，那么曲线上至少有一点的切线与AB平行，如图4.3所示.

从几何意义来看，罗尔中值定理和拉格朗日中值定理有着密切的联系，那么能否通过构造满足罗尔定理的函数来证明拉格朗日中值定理呢？答案是肯定的.

从图4.3上看，如果把PQ两点的纵坐标之差作为新构造的函数φ（x），那么在两个端点时，即当x＝a和x＝b时，PQ两点重合，有φ（a）＝φ（b）＝0，由于直线AB的方程为y＝，所以φ（x）的表达式为

图4.3　拉格朗日中值定理的几何意义

这样φ（x）就满足罗尔定理的三个条件，可以利用它作为辅助函数证明拉格朗日中值定理.

证明　作辅助函数

则φ（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，并且φ（a）＝φ（b）＝0，根据罗尔定理，在（a，b）内至少存在一点ξ，使得φ′（ξ）＝0.

因为

故有

即

f（b）-f（a）＝f′（ξ）（b-a），证完.

公式f（b）-f（a）＝f′（ξ）（b-a）称为拉格朗日中值公式，对于b＜a时也成立.

拉格朗日中值公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这个区间内某点处的导数之间的关系，若函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，x0和x0+Δx都在该区间内，则有

f(x0+Δx)-f(x0)＝f′(x0+θΔx)·Δx　(0＜θ＜1)(https://www.daowen.com)

把f（x）记为y时，公式又可写成

Δy＝f′(x0+θΔx)·Δx　(0＜θ＜1)

与微分dy＝f′（x）·Δx相比较，dy＝f′（x）·Δx只是函数增量Δy的近似表达式，而Δy＝f′（x0+θΔx）·Δx　（0＜θ＜1）是函数增量Δy的精确表达式.

例4.1.4　对函数f（x）＝arctanx在[0，1]上验证拉格朗日中值定理的正确性，并求出ξ.

解　函数f（x）＝arctanx在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，因此函数f（x）在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的条件，有f（1）-f（0）＝f′（ξ）（1-0），又，故有，得.

例4.1.5　设f（x）在[a，b]上可导，f（a）＝f（b），证明在（a，b）内必存在一点ξ，使得f（a）-f（ξ）＝ξf′（ξ）.

证明　构造辅助函数F（x）＝xf（x），由题设知，F（x）在[a，b]上满足拉格朗日中值定理的条件，故在（a，b）内必存在一点ξ，使

即

又由题设知f（a）-f（b），所以有f（a）＝f（ξ）+ξf′（ξ），即f（a）-f（ξ）＝ξf′（ξ）.

拉格朗日中值定理有一个比较重要的应用，在第2章里讲过，某一区间上的常函数f（x）在该区间的导数值恒为零，这个命题的逆命题也是成立的，这样就有：

定理4.1.4　若函数f（x）在某个区间I上的导数恒为零，那么f（x）在该区间上是一个常数.

证明　在区间I上任取不同的两点x1，x2，并且设x1＜x2，则f（x）在以x1，x2为端点的区间上满足拉格朗日中值定理，故必然存在一点ξ∈（x1，x2），使

f(x2)-f(x1)＝f′(ξ)(x2-x1)

又因为f′（ξ）＝0，所以f（x1）＝f（x2）.由于x1，x2是区间I上任意两点，知f（x）在I上的函数值恒相等，从而f（x）在I上是一个常数，证完.

例4.1.6　证明恒等式.

证明　令F（x）＝arcsinx+arccosx，-1≤x≤1，F′（x）＝，根据定理4.1.4，在-1≤x≤1上，有F（x）≡C（C为常数），又当x＝0时，F（x）＝，所以有arcsinx+

拉格朗日中值定理还有另外一个比较重要的应用，就是可以证明一些不等式.

例4.1.7　证明不等式，其中0＜a＜b.

证明　设f（x）＝lnx，由于f（x）在[a，b]上满足拉格朗日中值定理的条件，则必然存在一点ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）＝f′（ξ）（b-a），又，所以有，因为a＜ξ＜b，故有.

3.柯西中值定理

把拉格朗日中值定理中的连续曲线f（x）改成参数形式，t∈[a，b]，其中t为参数，两端点为A（g（a），f（a）），B（g（b），f（b））.由拉格朗日中值定理，曲线上必然存在一点，对应的参数t＝ξ∈（a，b），使曲线在该点的切线平行于线段AB，即C点的切线斜率等于弦的斜率，如图4.4所示.

这个结果就是柯西中值定理.

定理4.1.5（柯西中值定理）　若函数f（x）和g（x）满足：

（1）在闭区间[a，b]上连续；

（2）在开区间（a，b）内可导；

（3）∀x∈（a，b），g′（x）≠0，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使成立.

图4.4　柯西中值定理的几何意义

证明　在柯西中值定理中，令g（x）＝x，就是拉格朗日中值定理，并且由图4.4可以看出，仍然能够通过构造辅助函数的方法，并利用罗尔中值定理来证明定理4.1.5.

作辅助函数，则φ（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，并且φ（a）＝φ（b）＝0，且

根据罗尔中值定理，在（a，b）内至少存在一点ξ，使φ′（ξ）＝0，也就是

即

定理结论中的等式左边一定是有意义的，即必然有g（b）-g（a）≠0，事实上，

g(b)-g(a)＝g′(η)(b-a)≠0　(a＜η＜b)

条件（3）有g′（x）≠0，又a≠b，所以g（b）≠g（a），证完.

例4.1.8　设函数f（x）在[a，b]上可导，0＜a＜b.证明：存在点ξ∈（a，b），使得2ξ[f（b）-f（a）]＝（b2-a2）f′（ξ）.

证明　设函数g（x）＝x2，显然g（x）在[a，b]上可导，又函数f（x）在[a，b]上可导，0＜a＜b，根据柯西中值定理，至少存在一点ξ∈（a，b），使

因此有

即

2ξ[f(b)-f(a)]＝(b2-a2)f′(ξ)

本节的三个中值定理是微分学理论中非常重要的内容，读者要在深刻理解的基础上进行熟练运用.