4.2.1 型未定式和型未定式
型未定式和
型未定式
1.
型未定式
定理4.2.1 如果函数f（x）和g（x）满足：
(1)
;
（2）f（x）和g（x）在点a的某个去心邻域内可导且g′（x）≠0；
（3）
存在（或为实数，或为无穷大），
证明 由于
当x→a时的极限和f（a）与g（a）的函数值无关，所以先定义辅助函数
在a的某个邻域内任取一点x，那么在以a和x为端点的区间上，函数f1（x）和g1（x）满足柯西中值定理的条件，故有
对上式两端取极限，当x→a时，有ξ→a，所以
故 
，证完.
在一定条件下，通过分子、分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
如果
仍属于
型，且f′（x）和g′（x）满足洛必达法则中f（x）和g（x）的条件，则可以继续使用洛必达法则，即
例4.2.1 求
.
解 这是一个
型未定式，当x→0时，sinx和x在点0的去心邻域内满足洛必达法则中的条件（1）和（2），所以有
例4.2.2 
.
解 
例4.2.3 
.
解 这是
型未定式，先用洛必达法则进行求解，得
此时仍为
型未定式，可继续用洛必达法则进行求解，得
此时不是未定式，不能应用洛必达法则进行求解，可根据函数极限的四则运算法则，得原式
.
注：在每次应用洛必达法则时都要检查是否满足条件，否则可能导致错误结论.(https://www.daowen.com)
例4.2.4 求
.
解 原式为
型未定式，可直接运用洛必达法则进行求解，但对分子分母求导相对麻烦，可以对它进行适当变换.令
，当x→0+时，t→0.因此有
从例4.2.3和例4.2.4可以看出，洛必达法则不一定是求极限的最好办法，通常是把洛必达法则和前面学过的求极限方法结合使用.
定理4.2.2 如果函数f（x）和g（x）满足：
(1)
;
（2）f（x）和g（x）在
时都可导且g′（x）≠0；
（3）
存在（或为实数，或为无穷大），
则
例4.2.5 求
.
解 
2
型未定式
定理4.2.3 如果函数f（x）和g（x）满足：
(1)
;
（2）f（x）和g（x）在点a的某个去心邻域内可导且g′（x）≠0；
（3）
存在（或为实数，或为无穷大），
则
.
此定理对于x→a+，x→a-，x→∞，x→+∞，x→-∞的情况都是适用的.
例4.2.6 求
.
解
例4.2.7 求
.
解 这是一个
型未定式，应用洛必达法则进行求解，得
此时转化为
型未定式，再次应用洛必达法则进行求解，有
例4.2.8 求
.
解 这是一个很简单的极限运算，用以前的方法，很容易得到：
在求解极限的过程中不能盲目使用洛必达法则，此式从表面上看也是
型，但是由于它不符合洛必达法则的条件，所以直接运用洛必达法则计算
会产生错误的结论.
未定式中还有一些其他类型，也都可以通过简单的变换化成前面所讨论的
型或
型未定式来计算.下面举例说明.
