4.4.1　极值

在第4.1节中，在给出费马定理之前定义过函数的极值，并且通过费马定理知道了函数极值的必要条件.

定理4.4.1（极值的必要条件）　设函数f（x）在点x0处可导并取得极值，则f′（x）＝0.

定理4.4.1说明可导函数的极值点一定是它的驻点，但是反过来，函数的驻点却不一定就是它的极值点，除此之外，函数在它的不可导点处也可以取得极值，本节主要讨论函数取得极值的两个充分条件.

定理4.4.2（极值的第一充分条件）　设函数f（x）在点x0处连续，在x0的某去心邻域内可导：

（1）当x∈（x0-δ，x0）时，f′（x）＞0；x∈（x0，x0+δ）时，f′（x）＜0，则函数f（x）在x0处取得极大值；

（2）当x∈（x0-δ，x0）时，f′（x）＜0；x∈（x0，x0+δ）时，f′（x）＞0，则函数f（x）在x0处取得极小值；

（3）当x∈U◦（x0，δ）时，f′（x）不改变符号，则函数f（x）在x0处没有极值.

证明　下面只证（1），（2）和（3）可以类似地证明.

根据定理4.3.1函数单调性判别法可知，f（x）在（x0-δ，x0）内单调递增，在（x0，x0+δ）内单调递减.又由于函数f（x）在点x0处连续，所以对于任意x∈U（x0，δ），都有f（x）＜f（x0），故函数f（x）在x0处取得极大值，证完.

根据定理4.3.1和定理4.4.2，如果函数f（x）在某个区间内连续，除有限个点外处处可导，可以按以下步骤来求f（x）的极值点和极值.

（1）求出f′（x）；

（2）求出f（x）的驻点和不可导点；

（3）考查f′（x）在驻点和不可导点两侧的符号，确定该点是否为极值点；是极值点的确定是极大值点还是极小值点；

（4）求出极值点的函数值，确定极值.

例4.4.1　求函数f（x）＝x3-12x的极值.

解　函数的定义域为R，f′（x）＝3x2-12＝3（x+2）（x-2），令f′（x）＝0，得x＝±2.当x＞2或x＜-2时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）上是增函数；当-2＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）在[-2，2]上是减函数.当x＝-2时，函数有极大值f（-2）＝16，当x＝2时，函数有极小值f（2）＝-16.

例4.4.2　求函数的极值点和极值.