4.4.2 最大值和最小值
在生产生活中，常会遇到一些“用料最省、费用最低、距离最短、效益最高”等最优化问题的求解，这些问题都可以通过求某一个函数的最大值或最小值来解决.下面讨论如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内除有限个点外可导，并且至多有有限个驻点的条件下，它在闭区间[a，b]上的最大值或最小值的求法.
在第1章中曾指出：函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上有最大值和最小值.如果最值f（x0）在开区间（a，b）内的x0点，既然除有限个点外可导，并且至多有有限个驻点，那么f（x0）一定是f（x）的极值，则x0点一定是f（x）的驻点或不可导点.除此之外，f（x）的最值也可能在区间端点取得.
综上所述，可以用如下步骤求函数f（x）在[a，b]上的最大值和最小值：
（1）求函数f（x）在（a，b）内的驻点和不可导点；
（2）求出驻点，不可导点以及区间端点的函数值；
（3）比较上述点中函数值的大小，最大的是f（x）在[a，b]上的最大值，最小的是f（x）在[a，b]上的最小值.
例4.4.5 求函数f（x）＝x5-5x4+5x3+1在闭区间[-1，2]上的最大值和最小值.
解 因为f′（x）＝5x4-20x3+15x2＝5x2（x-1）（x-3），令f′（x）＝0，得到闭区间[-1，2]上驻点为x1＝0，x2＝1，求得f（-1）＝-10，f（0）＝1，f（1）＝2，f（2）＝-7，故函数f（x）在闭区间[-1，2]上的最大值为f（1）＝2，最小值为f（-1）＝-10.
例4.4.6 求函数
在闭区间
上的最大值与最小值.
解 
因此
故f（x）的不可导点为x＝0，驻点为x＝1，x＝2.计算驻点、不可导点和区间端点的函数值，得到
所以函数f（x）在x＝0处取得最小值0，在x＝1和
处取得最大值5.
注：此题也可以令φ（x）＝f2（x），由于φ（x）与f（x）的最值点相同，因此也可以通过φ（x）求最值点.
对于实际问题求函数f（x）的最值时，可以根据问题的性质来判定可导函数f（x）是否有最大值或最小值，而且一定是在定义区间（a，b）取得.如果f（x）在（a，b）内有唯一驻点，那么这个唯一驻点值就是f（x）在[a，b]上的最大值或最小值.
例4.4.7 设轮船的耗煤费用与速度的立方成正比，其余消耗费用为100元/h，已知轮船以10km/h的速度航行时，耗煤费用为25元/h，求最经济的航行速度为多少（即每公里费用最少）？
解 设耗煤费用为y，则y＝kv3，有25＝k·103，得
，
假设以速度v行驶费用最省，每公里的费用表示为y0，则
，对y0求导，
，令y′0＝0，得驻点
，
所以当速度
时，每公里的费用最少，即最经济的航行速度为
.
例4.4.8 一张1.4m的画挂在墙上，画的底边高于观看者眼睛1.8m，求观看者应该站在距离墙多远的地方看得最清楚（图4.8）？（即求角θ的最大可能取值）
图4.8 人与画位置图
解 设观看者距离墙x m，则
由于观看者距离墙太远太近都看不清楚，所以θ在（0，+∞）内应该有最大值.
因为
，令θ′＝0，得到函数θ在（0，+∞）内的驻点为x＝2.4.根据费马定理，θ的最大值只能在x＝2.4取得，故观看者应该站在距离墙2.4m的地方看得最清楚.(https://www.daowen.com)
例4.4.9 从半径为R的圆中切去一个圆心角为φ的扇形，求φ为多大时才能使余下的部分卷成容积最大的圆锥形漏斗？
解 设余下扇形的圆心角为α，则α＝2π-φ，卷成的圆锥高为h，底面半径为r，有2πr＝
，所以容积
令V′＝0，得唯一驻点
，则当
时，容积V取得最大值，此时，
例4.4.10 如图4.9所示，物体重为G，停在滑动摩擦系数为μ的水平面上，一人想用最小拉力F使木块沿水平面匀速运动，求最小拉力F.
解 设拉力F与水平面夹角为θ时，木块匀速运动，则物体受重力G、拉力F、支持力N和滑动摩擦力f，如图4.10所示.
图4.9 例4.4.10图示
图4.10 例4.4.10的受力分析图示
由共点力的平衡条件得：
Fcosθ-f＝0
Fsinθ+N-G＝0,f＝μN
由此得：
令y＝μsinθ+cosθ，
则y′＝μcosθ-sinθ；
令y′＝0，则tanθ＝μ，即
，在θ＝arctanμ处，y取极大值，又因为只有一个极值点，所以y取最大值，F有最小值
.
例4.4.11 如图4.11所示，在圆柱形盛水容器侧面的小孔距液面多深时，水流的射程最大？最大射程为多少？
解 设水流的质量为m，根据机械能守恒定律，求得水流的初速度
，射程s＝vt
，
图4.11 例4.4.11图示
所以
，设y＝4h（H-h），y最大时，s也最大，下面用导数求y的极值.
y′＝4H-8h，令y′＝0得驻点
.当
时，y′＞0；当
时，y′＜0.
所以
是极值点，并且是极大值.这个极大值与本题中要求的最大值相对应.
ymax＝H2，s＝
＝H，即当深度为
时，水流的射程最远，最远为H.
