*4.4.3　导数在经济中的应用

导数在工程、技术、科研、国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛地应用.下面介绍导数在经济中的简单应用.

1.边际函数

在经济学中，称导数值f′（x0）为相应的经济函数f（x）在x0处的边际值；称导函数f′（x）为经济函数f（x）的边际函数.

f′（x0）的经济意义是：经济量x在某一水平x0的基础上每改变1个单位时，对应的y将近似地改变f′（x0）个单位.

注：在实际应用中，往往略去“近似”二字.

2.边际成本

设成本函数C＝C（Q），Q为产量，其导数C′（Q）称为边际成本函数，记为MC.

C′（Q0）的经济意义是：产量在Q0水平的基础上，产量每改变（增加或减少）1个单位时，所引起的总成本C（Q）的改变量（增加或减少）为C′（Q0）个单位.

例4.4.12　已知某商品的成本函数为C（Q）＝100+，求当Q＝10时的总成本、平均成本和边际成本.

解　当Q＝10时，总成本，

平均成本函数为，

边际成本函数为.

例4.4.12中边际成本的经济意义是：当产量在10个单位的基础上，再多生产1个单位产品，总成本将增加5个单位，即生产第11个单位产品时，所需的成本是5个单位.

3.边际收益

若总收益函数为R（Q），则其导数R′（Q）称为边际收益函数，记为MR.

R′（Q0）的经济意义是：在销量为Q0时，再多销售1个单位产品所引起总收益的改变量为R′（Q0）个单位.

例4.4.13　通过调查得知某种家具的需求函数为Q＝1200-3P.其中，P为家具的销售价格，单位为元；Q为需求量，单位为件，求销售该家具的边际收益函数，以及销售量分别为450件、600件、750件时的边际收益.

解　由题设可知，总收益函数为(https://www.daowen.com)

边际收益函数为，于是有

R′(450)＝100,R′(600)＝0,R′(750)＝-100

例4.4.13的经济意义是：当家具的销量为450件时，R′（450）＞0，说明此时再增加销售量，总收益会增加，而且再多销售一件家具，总收益会增加100元；当销量为600件时，R′（600）＝0，说明此时的销量是最佳销量，它可使总收益达到最大，再增加销售量，总收益不会再增加；当销量为750件时，R′（750）＜0，说明此时再增加销售量，总收益会减少，而且再多销售一件家具，总收益会减少100元.

4.最大利润

总利润函数L（Q）的导数L′（Q）称为边际利润函数.

L′（Q0）经济意义是：在销量为Q0时，再多销售1个单位产品所引起的总利润改变量为L′（Q0）.

总利润函数等于总收益函数减去总成本函数，即L（Q）＝R（Q）-C（Q）；于是L（Q）取得最大值的必要条件为

L′(Q)＝R′(Q)-C′(Q)＝0

即　R′（Q）＝C′（Q）；

L（Q）取得最大值的充分条件为

L″(Q)＝R″(Q)-C″(Q)＜0

即

R″(Q)＜C″(Q);

故最大利润的经济意义是：当销量Q满足：（1）R′（Q）＝C′（Q）；（2）R″（Q）＜C″（Q）时，利润L（Q）达到最大.

例4.4.14　已知某产品的需求函数，总成本函数为C（Q）＝50+2Q，求产量为多少时总利润最大？并验证是否符合最大利润原则.