习题4.4
1.判断题（正确的面“√”；错误的面“×”）.
（1）函数的极值点一定是驻点. （ ）
（2）函数的驻点一定是极值点. （ ）
（3）函数的最大值点一定是极大值点. （ ）
（4）函数的极大值一定大于极小值. （ ）
2.选择题.
（1）若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值，则（ ）.
A.极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值
B.极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值
C.极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值
D.极大值必大于极小值
（2）下列四个函数，在x＝0处取得极值的函数是（ ）.
①y＝x3
②y＝x2+1
③
④y＝2x
A.①②
B.②③
C.③④
D.①③
（3）设f（x）在x＝0的某个邻域内连续，且f（0）＝0
2，在点x＝0处f（x）（ ）.
A.不可导
B.可导，且f′（0）≠0
C.取得极大值
D.取得极小值(https://www.daowen.com)
3.求下列函数的极值.
4.设函数y＝y（x）由方程2y3-2y2+2xy-x2＝1所确定，求y＝y（x）的驻点，并且判别它是否为极值点.
5.求下列函数在给定区间的最值.
6.求正数a，使它与其倒数的和最小.
7.一个半径为R的球内有一个内接圆锥体，问圆锥体的高和底半径成何比例时，圆锥体的体积最大？
8.有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起做成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？
9.中介公司有50套房屋要出租，如果月租金为1000元，房屋能全部出租出去，当月租金每增加50元，就多一套房屋租不出去，可以租出去的房屋每月要花100元的维修费，求房屋租金为多少可获收入最多？
10.如图4.12所示，一辆小车在MN轨道上行驶的速度可达50km/h，在轨道外的平地上行驶速度v2可达40km/h，与轨道的垂直距离为30km的B处有一基地，问小车从基地B出发到离D点100km的A处的过程中最短需要多少时间（设小车在不同路面上的运动都是匀速运动，启动时的加速时间可忽略不计）？
11.如图4.13所示，质量为m的小球用细线连接，细线的另一端固定在O点，小球可以在竖直平面内自由摆动.现将细线拉直并成水平状态，让小球从静止开始摆下.试求小球的竖直分速度vy的最大值.
12.如图4.14所示，两个质量分别为m1，m2的滑块，用一轻弹簧连接后放在光滑水平面上，当给m1一个初速度v0.试证明：当两滑块速度相同时，弹簧的弹性势能最大.
图4.12 习题10图示
图4.13 习题11图示
图4.14 习题12图示
13.已知某厂生产x件产品的成本为
（元），求：
（1）要使平均成本最小，应生产多少件产品？
（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？
14.一商家销售某种商品的价格满足关系p＝7-0.2x（万元/吨），x为销售量（单位为吨），商品的成本函数是C＝3x+1（万元）.
（1）若每销售1吨商品，政府要征税t（万元），求该商家获得最大利润时的销售量.
（2）t为何值时，政府税收总额最大.
