4.5 函数图形的描绘
学习目标与要求
（1）掌握曲线的水平渐近线和铅直渐近线的求法；
（2）了解曲线的斜渐近线的求法；
（3）掌握简单函数图形的描绘.
在中学时，我们学过的一些函数图像的描绘，通常是通过取值、列表、描点、最后把这些点逐个连接起来.一般来讲，这样得到的图像比较粗糙，而且一些函数图像的关键处不能正确地反映出来.但是，在掌握了微分定义以后，可借助一阶导数的符号，确定函数图形在哪个区间上升或下降以及在哪取得极值；还可借助二阶导数的符号，确定函数图形在哪个区间上为凹或者为凸以及在哪个地方为拐点.根据这些，可以把函数图形描绘地更加准确，更好地反映函数的性态.
在讨论函数作图之前，先介绍曲线的渐近线.
如果曲线C上的动点P沿着曲线无限远离原点时，点P与某一固定直线L的距离趋于零，那么直线L称为曲线C的渐近线，如图4.15所示.
曲线的渐近线有以下三种.
（1）水平渐近线：如果
，或
，则称直线y＝A为曲线y＝f（x）的水平渐近线.
（2）铅直渐近线：如果
，则称直线x＝x0为曲线y＝f（x）的铅直渐近线.
图4.15 曲线的渐近线图示
（3）斜渐近线：如果
，或者上述两个极限式中的x→+∞都改为x→-∞时成立，则称直线y＝ax+b为曲线y＝f（x）的斜渐近线.
水平渐近线和铅直渐近线的结论容易理解.下面着重说明斜渐近线的结论.
设曲线C（y＝f（x））有斜渐近线y＝ax+b，要确定它，就必须求出常数a和b.如图4.15所示，曲线上动点P到渐近线L的距离为
根据曲线渐近线的定义，当x→+∞（或x→-∞）时，有d→0，所以有
即
又由
.
例4.5.1 求曲线
的渐近线.
解 因为
，所以y＝0是曲线的水平渐近线.
又
，所以x＝0是曲线的铅直渐近线；
但是
，所以曲线没有斜渐近线.
例4.5.2 考查曲线
的渐近线.
解：考查f（x）的不连续点x＝0，由于
，所以曲线无铅直渐近线；
又因为
，所以曲线无水平渐近线.
但是由于
，
所以，曲线有斜渐近线y＝x.
例4.5.3 考查曲线
的渐近线.
解：因为
，所以曲线无水平渐近线.
又
，所以当x→-3和x→1时都有y→∞，曲线有两条铅直渐近线x＝-3和x＝1.(https://www.daowen.com)
由于
，所以a＝1；
，所以b＝-2；
曲线有斜渐近线y＝x-2.
下面讨论怎样利用微分知识来描绘函数图形，其一般步骤如下.
（1）确定函数f（x）的定义域以及基本性质（如奇偶性、周期性等），求出f（x）的一阶导数和二阶导数；
（2）求出f（x）的某些特殊点，如一阶导数f′（x）和二阶导数f″（x）在函数定义域内全部为零的点；求出f（x）的间断点和一阶导数，二阶导数不存在的点；
（3）用以上各点把f（x）的定义域划分成几个部分区间，确定每一个部分区间内f′（x）和f″（x）的符号，确定f（x）在各部分区间的升降、凹凸以及极值点、拐点；
（4）确定渐近线；
（5）计算出曲线与坐标轴交点以及特殊点所对应的函数值，然后连接这些点并逐段描绘图形.
例4.5.4 作出函数
的图形.
解：（1）函数y＝f（x）定义域为（-∞，+∞）；由于f（-x）＝-f（x），所以函数为奇函数，图形关于原点对称，故只需讨论x≥0时函数的性态，
（2）当x≥0时，令y′＝0，得x＝1；令y″＝0，得x＝0
，点x＝0，x＝1
把x≥0的部分划分成三个小部分区间
；
（3）在各小部分区间根据y′和y″的符号，将曲线弧的升降、凹凸以及极值点和拐点，如表4.3所示.
（4）由于
，所以函数有水平渐近线y＝0；
（5）作图，如图4.16所示.
的图像
例4.5.5 讨论函数
的性态，并作出图像.
解 （1）函数y＝f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（-1，1）∪（1，+∞）.
由于
，所以f（x）为奇函数，
（2）令y′＝0，有
，0；令y″＝0，有x＝0；且x＝±1为函数的间断点.点
把定义域划分成六个部分区间
，
.
（3）根据各个部分区间内y′和y″的符号，将曲线弧的升降、凹凸以及极值点和拐点，如表4.4所示.
表4.4 函数
性态变化趋势表
（4）由于
，所以曲线没有水平渐近线；又
，所以x＝1为曲线y的一条铅直渐近线；又
，因此x＝-1也为曲线y的一条铅直渐近线.
因为 
所以直线y＝x为曲线y的斜渐近线；
（5）
，拐点为（0，0），结合以上讨论，画出函数
的图像，如图4.17所示.
