习题四

习题四

1.选择题

（1）罗尔定理中的三个条件：f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）＝f（b），是f（x）在（a，b）内至少存在一点ξ，使f′（ξ）＝0成立的（　）.

A.必要条件

B.充分条件

C.充要条件

D.既非充分也非必要条件

（2）f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内具有二阶导数，且f′（x）＞0，f″（x）＞0，则曲线y＝f（x）在[a，b]上（　）.

A.上升且为凸的

B.上升且为凹的

C.下降且为凸的

D.下降且为凹的

（3）下列说法正确的是（　）.

A.函数的极大值就是函数的最大值

B.函数的极小值就是函数的最小值

C.函数的最值一定是极值

D.在闭区间上的连续函数一定存在最值

（4）设，则在点a处（　）.

A.f（x）导数存在，且f′（a）≠0

B.f（x）取得极大值

C.f（x）取得极小值

D.f（x）导数不存在

2.填空题

（1）f（x）＝x2，F（x）＝x在[1，2]上满足柯西中值定理的ξ＝_________.

（2）若函数f（x）在x＝a二阶可导，则＝________.

（3）使内接椭圆的矩形面积最大，矩形的长为________，宽为________.

（4）曲线的水平渐近线是________，垂直渐近线是________.(https://www.daowen.com)

3.求下列极限

4.利用微分中值定理证明

（1）设f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（1）＝0.证明：至少存在一点ξ∈（0，1），使得.

（2）若方程a0xn+a1xn-1+…+an-1x＝0有一个正根x0，则方程a0nxn-1+a1（n-1）xn-2+…+an-1＝0必有一个小于x0的正根.

（3）设函数f（x）在[a，b]上二阶可导，且f（a）＝f（b）＝0，并存在一点c∈（a，b）使得f（c）＞0.证明：至少存在一点ξ∈（a，b），使得f″（ξ）＜0.

（4）证明：至少存在一点ξ∈（1，e），使sin1＝coslnξ.

5.证明下列不等式

（1）设a＞b＞0，n＞1.证明：nbn-1（a-b）＜an-bn＜nan-1（a-b）.

（2）当x＞1时，ex＞ex.

（3）设f（x）在[a，+∞）上连续，f″（x）在（a，+∞）内存在且大于0，F（x）＝（x＞a）.证明：F（x）在（a，+∞）内单调增加.

(4)　(x≠y).

（5）已知函数， 求证：对任意的正数a，b，恒有.

6.设可导函数f（x）由方程x3-3xy2+2y3＝32所确定，求f（x）的极值.

7.设函数f（x）在[a，b]上可导，且f′+（a）·f′-（b）＜0，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使f′（ξ）＝0.

8.在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为多少时，它的面积最大.

9.一轻绳一端固定在O点，另一端拴着一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速度的释放，如图4.18所示，小球在运动至轻绳达到垂直位置过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值.

10.描绘下列函数的图形.

图4.18　习题9图示

11.某企业的成本函数和收益函数分别为.求：

（1）边际成本、边际收益和边际利润；

（2）已知生产并销售了25个单位产品，那么生产第26个单位产品的利润是多少？

（3）生产多少单位产品可获得最大利润？