5.1.1 原函数和不定积分的概念
在第3章，学习了导数的运算.先看前面学习过的一个例子：已知质点沿直线的运动在时刻t的瞬时速度为v（t），求质点的运动规律方程s（t）.此问题归结到求一个可微函数s（t），使得s′（t）＝v（t）.不看问题的物理意义，而从数学的角度，就是要进行求导的逆运算.这就引出了原函数的概念.
例5.1.1 已知某直线运动的物体速度函数为
，其中t＞0.问当该物体的速度减为零的时候，它从t＝0开始运行了多长距离？
解 解方程
，可求出运动物体停止下来的时间为t＝2（min），即2min后物体会静止下来.显然如果知道路程函数s（t），则s（2）就是从t＝0到静止时所运行的路程.因为s′（t）＝v（t），所以不难推测出
，其中t≥0.那么
1（km）.所以物体从t＝0时刻开始运行到静止，一共运行了1（km）.
定义5.1.1 设函数f（x）在区间I上有定义，若在区间I上存在函数F（x），使得F′（x）＝f（x），x∈I或者dF（x）＝f（x）dx，x∈I，则称F（x）是f（x）在区间I上的一个原函数.
例如，因为（x3）′＝3x2，所以x3是3x2的一个原函数，当然x3+1也是3x2的一个原函数.
因为
， 所以lnx是
的 一个原函数，当然lnx+5也是
的一个原函数.
又因为
，所以，arcsinx是
在（-1，1）上的一个原函数，同样arcsinx+C也是
在（-1，1）上的一个原函数，C是任意的常数.
显然，如果函数F（x）是f（x）的一个原函数，则对任意常数C∈R，F（x）+C也是f（x）的原函数.
又如果函数F（x），G（x）都是f（x）的原函数，那么由F′（x）＝f（x），G′（x）＝g（x）可以推导出
[G(x)-F(x)]′＝G′(x)-F′(x)＝f(x)-f(x)＝0
由导数计算，可知G（x）-F（x）＝C，即G（x）＝F（x）+C，即f（x）的任意两个原函数之差为常数.
因此，函数f（x）在区间I内的任意原函数，可记为F（x）+C，其中F（x）是f（x）的一个原函数，C∈R.也就是说，函数f（x）的全体原函数所组成的集合，就是函数族
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定义5.1.2 设函数F（x）是f（x）在区间I的一个原函数，则称F（x）+C为函数f（x）
在区间I的不定积分，称为
即
式中，记号
称为积分号；f（x）称为被积函数；f（x）dx称为被积表达式；x称为积分变量；C为任意常数，称为积分常数.
可以证明，若函数f（x）在区间I上连续，则f（x）在I上一定有原函数，因而函数f（x）的不定积分也一定存在.
例5.1.2 求不定积分
.
解 因为
，所以
是x3的一个原函数，因此
.
例5.1.3 求不定积分
.
解 当x＞0时，因为
， 所以
；
当x＜0时，因为
.合并上面两式，得到
