5.1.2　不定积分的几何意义

5.1.2　不定积分的几何意义

下面先看一个例子.

例5.1.4　设曲线通过点（1，0），且曲线上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程.

解　设所求的曲线方程为y＝f（x），由题设曲线上任一点（x，y）处的切线斜率为y′＝f′（x）＝2x，即函数y＝f（x）是2x的一个原函数.

又因为

故必有某个常数C，使得f（x）＝x2+C，即曲线方程为y＝x2+C.

因为所求曲线通过点（1，0），故(https://www.daowen.com)

0＝1+C,C＝-1

于是所求曲线方程为y＝x2-1.

此例体现了不定积分的几何意义，具体描述如下.

如果给定曲线在每一点的切线斜率为f（x），若F（x）是f（x）的一个原函数，即F′（x）＝f（x则称y＝F（x）为f（x）的一条积分曲线.显然，对任意C∈R，y＝F（x）+C也是f（x）的积分曲线，因此称y＝F（x）+C为f（x）的积分曲线族.它们是由y＝F（x）这条积分曲线沿y轴方向平行移动所得的一族曲线.

在这些曲线上，对应着点x的切线，都有相同的斜率F′（x）＝f（x）.如果需要求出过定点P0（x0，y0）的积分曲线，则可由C＝y0-F（x0）唯一确定C，即y＝F（x）+y0-F（x0）就是满足初始条件y0＝y（x0）的积分曲线，如图5.1所示.

图5.1　不定积分的几何意义图示