5.2 第一类换元积分法
学习目标与要求
（1）掌握第一类换元积分法；
（2）掌握凑微分积分法.
换元积分法是把复合函数的求导法则反演过来，用于计算不定积分的一种积分方法.具体的作法是：按照被积函数，引进一个与旧变量具有一定函数关系的新变量，以代替旧变量，使得变形后的积分更容易转化为基本积分表中的形式，求出不定积分后再把旧变量代换回来.根据换元的思路不同，又分为两种情况：第一类换元法和第二类换元法.
计算函数的不定积分，能直接用基本积分公式的情况是很有限的，因此有必要进一步来研究不定积分的求法.在这一节中，将给出计算不定积分的换元积分法.
由复合函数的微分法可知
若F′（u）＝f（u），而u＝φ（x）可导，有
这说明F[φ（x）]是f[φ（x）]φ′（x）关于积分变量x的一个原函数，则由不定积分的定义可以得到
加上适当的条件后，就有下述定理.
定理5.2.1 设函数f（u）有原函数F（u），u＝φ（x）可导，则有换元公式
在此定理中，虽然∫f[φ（x）]·φ′（x）dx是一个整体记号，但是被积表达式中的dx可当作积分变量x的微分来对待，从而微分等式φ′（x）dx＝du可以应用到被积表达式中.
具体运用此定理来求不定积分∫g（x）dx的方法是：将g（x）视为φ（x）的复合函数，并且留出导数因子φ′（x），即把被积函数g（x）“拼凑”成f[φ（x）]φ′（x）的形式，然后令u＝φ（x），将
转化为
进行计算，最后用u＝φ（x）代回.即是：
这种“拼凑”的技巧运用很广，因此称为第一类换元法，也称为凑微分法.
例5.2.1 求积分∫cos2xdx.
解 在基本积分表中只有公式∫cosxdx＝sinx+C.
比较∫cosxdx与∫cos2xdx，可以看出，如果“拼凑”上一个常数因子2，就有
所以我们引进中间变量u＝2x，则du＝d（2x），得到
最后将u＝2x代回，便得到
例5.2.2 求积分
.
解 与基本积分表对照，观察出需要“拼凑”（3+2x），所以引进变量u＝3+2x，du＝d（3+2x）＝2dx，即
，代入得到
最后将u＝3+2x代回，便得到
例5.2.3 求积分
.
解 
在对变量代换的方法比较熟悉后，可以省略写出中间变量u的步骤，直接计算为
例5.2.4 求积分
.
解 
第一类换元法的关键是凑出微分，即与基本积分公式对照，找出适当的“拼凑”对象.可以看出，要快速准确地进行运算，需要对基本积分公式非常熟悉.因此，将列出以下常用的凑微分公式，大家在练习的同时，学会对拼凑对象“敏感”起来.
例5.2.5 求积分
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解 
例5.2.6 求积分
.
解 
当然，在利用第一类换元法进行不定积分计算时，同时也可以结合一些技巧.
例5.2.7 求积分
.
解 与基本积分公式相比较，需要
，则有
例5.2.8 求
.
解 将分式拆分开来
，再利用基本积分公式，即
下面的几个关于积分的被积函数中都含有三角函数，在计算积分时，注意先观察特征，再利用相应的三角恒等式进行计算.
例5.2.9 求下列积分
解 
同理，可以计算得到
.
因为 
所以 
例5.2.10 求积分
.
解 （1）m＝1，n＝1时，
或者 
或者 
可以看出，用不同的积分方法，求出的原函数形式可以不同，但是任意两个原函数之间至多相差一个常数，并且可以验证各个结果的导数都是sinxcosx.
（2）m＞1，n＞1时，可分为以下两种情况进行运算.情况1：当m，n中有一个是奇数时，可以从奇数次项中拿出一个单因子来凑微分，如：
同理
情况2：当m，n都为偶数时，可以通过降次的方法积分，如：
例5.2.11 求下列积分.
解 对于含有三角函数secx，tanx的不定积分，可以利用“常用凑微分公式”中的⑥，⑨和⑩与三角公式1+tan2x＝sec2x相结合.
例5.2.12 求积分
.
解 利用三角函数的积化和差公式有
例5.2.13 求积分
.
解 分子分母分别乘以ex，有
