习题六
1.判断题（在对的括号里画“√”；错的括号里画“×”）
（1）f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）是定义在R上的偶函数，则
.（ ）
(2)
. ( )
(3)
. ( )
（4）
与对f（x）求不定积分的结果是一样的. （ ）
（5）v（t）为某物体速度随时间变化函数，可用
表示其在T内运动的路程.（ ）
（6）若
收敛，那么
也收敛. （ ）
2.填空题
(1
________;
＝________.
（2）设
，则F（1）＝________；F（-1）＝________.
(3)
＝_____.
(4)
＝________.
(5)
＝________.
（6）若
＝________.
(7)
________.
（8）
在[0，1]上的平均值是________.
（9）设f（x）连续，且对a≠0有
，则a＝________.
(10)
＝________.
（11）设
，则f（x）＝________.
（12）求第一象限内在y＝6-2x2上方，且在（1，4）处切线下方的面积________.
（13）设
＝________.
（14）广义积分
＝________.
（15）已知广义积分
收敛，则p满足的条件是_________.
3.计算、解答题
(1)
(2)
(3)
(4)
（5）设
.
（6）已知
.(https://www.daowen.com)
（7）求
的极值.
（8）设
.
(9)
.
（10）讨论广义积分
的收敛性.
4.应用题
（1）设平面区域D由y＝sinx（0≤x≤π）与x轴围成，求
①区域D的面积.
②区域D分别绕x轴和y轴旋转所围成旋转体的体积.
（2）设由y＝1-x2（0≤x≤1）与两坐标轴围成的平面区域D被曲线y＝ax2（a＞0）分成面积相等的两部分，试求出a的值.
（3）曲线
与g（x）＝ax2+bx+c（a＞0）相切于点（1，2），它们与y轴所围成的面积为
，求a，b，c的值.
（4）求由曲线y＝e-x及直线y＝0之间位于第一象限内的平面图形的面积及此平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积.
（5）计算星形线
的周长.
*（6）求曲线r＝3cosθ和r＝1+cosθ所围成图形的公共部分的面积.
（7）求y＝x3，x＝1及x轴所围图形分别绕x、y轴旋转一周而成的旋转体体积.
（8）求y＝x2，y2＝8x所围图形绕y轴旋转而成的旋转体体积.
（9）求y＝lnx对应于
一段弧长.
（10）直径为20cm，高为80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸汽，在等温条件下，要使气体体积缩小一半，问需要做多少功？
（11）升降机将一质量为Mkg的沙袋从地面匀速抬起，由于密封不严，每上升1m，沙袋减少1kg，试求将该沙袋抬到Xm处需做功多少？
（12）一底为8cm，高为6cm的等腰三角形片，垂直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而距离水面3cm，求它每面所受压力.
（13）设有一半径为R，中心角为φ的圆弧形细棒，其线密度为ρ，在圆心处有一质量为m的质点M，求细棒对质点M的引力.
*（14）生产某产品的赢利的速度v是随着时间t（单位：年）而降低的：v（t）＝（2-0.1t）（千元/年）（负盈利表示损失），设利率为10%，以连续复利方式计息.
①试写出表示T年后，将来的总赢利的现值的积分表达式.
②在什么时候这一产品的利润流的现值达到最大值？在达到最大值时，总赢利的现值是多少？
5.证明题
（1）设f（x）为（-∞，+∞）内连续的偶函数，试证
也是偶函数.
（2）设f（x）在[0，1]上连续，且f（x）＜1，证明
在（0，1）内只有一个零点.
（3）设f（x）在[0，1]上连续且单调减少，证明当0＜λ＜1时，有
.
（4）设f（x）在[a，b]上连续，且严格单增，证明
.
（5）已知f（x）在[a，b]上连续且单增，
求证F（x）在[a，b]上连续且单调递增.
