习题6.6

习题6.6

1.求抛物线x2-4x-y＝0与直线x+y＝0围成图形的面积.

2.求图6.32中所示的各画线部分的面积.

图6.32　习题2图示

3.求由曲线y＝x2，4y＝x2及y＝4围成图形的面积.

4.求抛物线y＝-x2+4x-3及其在点（0，-3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积.

*5.如图6.33所示，计算阿基米德螺线r＝aθ（a＞0）上相应于θ从0变到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积.

6.一正圆台，上底半径为1，下底半径为2，高为3，用定积分求此正圆台的体积.

7.连接坐标原点O及点P（h，r）的直线、直线x＝h及x轴围成一个直角三角形.将它绕x轴旋转一周构成一个底半径为r，高为h的圆锥体，计算这圆锥体的体积.

8.由x-y2＝0，x＝0及y＝1围成的图形分别绕x轴、y轴旋转一周，求旋转体的体积.

9.如图6.34所示，求以半径为R的圆为底，平行且等于该圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体积.

图6.33　习题5图示

图6.34　习题9图示

10.计算底面是半径为R的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积，如图6.35所示.

11.计算曲线上相应于x从1～2的一段弧的长度.(https://www.daowen.com)

12.x＝a（tsint+cost），y＝a（sint-tcost）在0≤t≤2π时的弧长.

*13.求阿基米德螺线r＝aθ（a＞0）当θ从0变化到2π的一段弧长，如图6.36所示.

图6.35　习题10图示

图6.36　习题13图示

14.一圆柱形的贮水桶高为5m，底圆半径为3m，桶内盛满了水.试问要把桶内的水全部吸出需做多少功？

15.把弹簧拉长时所需的力与弹簧的伸长成正比.又1N的力能使弹簧伸长0.01m，现要使弹簧伸长0.1m，需做多少功？

16.将半径为am的半圆板竖直放入水中，使其直径与水面相齐.求

（1）该板一侧所受到的压力；

（2）欲使压力增加一倍，半圆应向下平行移动多少m？

17.设有一长度为l、线密度为ρ的均匀细直棒，在其中垂线上距棒a处有一质量为m的质点M.试计算该棒对质点M的引力.

18.在某不平滑地面上，摩擦系数μ（x）＝x，质量为m kg的小车从原点运动到6m处需克服摩擦力做功多少？

*19.求收入流为1000（元/年）在20年的期间内的现值和将来值，这里以10%的年利率连续复利方式盈取利息.

*20.设需求曲线为p＝1000/（x+20），求当售价为20元时的消费者剩余.

*21.在染料稀释法中注入8mg的染料来测量心脏血液输出速度，染料的浓度为（12-t）（0≤t≤12），其中t为时间（单位：秒），求心脏的血液输出的速度.