6.6.3　定积分在物理上的应用

6.6.3　定积分在物理上的应用

定积分在物理上有着很广泛的应用，下面通过几个方面的例子来说明.

1.定积分在求物体所做功上的应用

从中学物理知识知道，一个物体做直线运动的物体，在运动过程受到与运动位移方向一致的常力F的作用，物体从a移动到b，力F对物体所做的功W为

W＝F(b-a)

如果力F是变力，即随物体的位置变化而变化，那么，物体沿直线从x＝a处移动到x＝b处，力F（x）所做的功又该如何计算呢？设F（x）是连续函数，在[a，b]上任取一微小区间[x，x+dx]，则该小区间上力F（x）变化很小，可近似看成常量，则功微元为

dW＝F(x)dx

于是，将此式作为被积表达式，在[a，b]上作定积分，即可得到变力F（x）在[a，b]上所做的功为

例6.6.13　设40N的力使弹簧从自然长度10cm拉长到15cm，问需要做多大功才能克服弹性恢复力将已经拉长到15cm的弹簧再拉长3cm？

解　根据胡克定律，当弹簧受拉力而被拉长，弹簧的恢复力F与伸长长度x成正比，设k为弹性系数，则

F(x)＝kx

当弹簧从自然长度10cm拉长到15cm，弹簧被拉长了0.05cm，代入胡克定律，有

F(0.05)＝0.05k＝40⇒k＝800

于是，该弹簧的弹性恢复力的表达式为F（x）＝800x，所以将弹簧从15cm处拉长到15+3＝18cm处时，克服弹性恢复力所做的功为

图6.27　例6.6.14图示

例6.6.14　设在半径为R的半球面做成的容器中盛满水.现将里面的水抽净，请计算需要做多少功（设水的密度为ρ）.

解　根据题意，建立如图6.27所示的坐标系，坐标原点选在球心位置，水平面方向为y轴，水深方向为x轴.

取x为积分变量，则x的变化范围是[0，R]，在该区间上任取一微小区间[x，x+dx]，功微元是抽取这一薄层水克服重力所做的功.薄层水的重量为底面半径为y，高为dx的薄圆柱形水柱的体积，外力要克服这部分重力所施加的力的大小为

F(x)＝πy2gρdx

于是这部分功微元的值为

dW＝F(x)·x＝πgρy2xdx

式中，所以

dW＝πgρ(R2-x2)xdx

将容器中的水抽净克服重力做的功为

2.定积分在求液体的静压力上的应用

从物理学知识知道，液体深为h处的压强

p＝ρgh

式中，ρ为液体的密度；g为重力加速度.如果有一面积为A的平板水平地放置在水深h处，那么，平板一侧所受的水压力为

P＝pA＝ρghA

如果平板是铅直地放置在水中，由于水深不同的点处压强也不同，所以平板一侧所受的水压力就不能用上述方法计算，但可以采用定积分的计算方法.

如图6.28所示，设一曲边梯形薄板铅直置于水中，其上、下缘都平行于水面，且距离水面的距离分别是a和b.在液面上取一点作为坐标原点O，水平向右的方向为y轴，竖直向下的方向为x轴建立坐标系，并使曲边梯形的一直边位于x轴上，在该坐标系下，梯形的曲边方程为y＝f（x）.

在[a，b]上任取一微小区间[x，x+dx]，对应的面积微元dA＝f（x）dx，由于在该微小区间内，薄板各处的压强可近似看成相等，因此静压力微元为

dP＝ρgxdA＝ρgxf(x)dx

以ρgxf（x）dx作为被积表达式，在[a，b]上作定积分就是薄板一侧所收到的静压力，即

图6.28　薄板的静压力

例6.6.15　一个三角形闸门竖直放在水中，上底长为a，高为h，上底与水面平齐，求闸门所受到的水压力（水密度为ρ，重力加速度为g）.

解　根据题意，建立如图6.29所示的坐标系，取x轴正向垂直向下，y轴正向水平向右.

在区间[0，h]上任一微小子区间[x，x+dx]所对应的面积微元.由于ΔABC与ΔDBE相似，从而，于是

从而压力微元

图6.29　例6.6.15　图示

以为被积表达式，在[0，h]上积分，得到整个三角形闸门所受的水压力为

3.定积分在求引力上的应用

从物理学知道，质量分别为m1、m2，相距为r的两质点间的引力大小为

式中，G为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向.

如果要计算一根细棒对一个质点的引力，由于细棒的长度不能忽略，细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，就不能应用上述公式来计算，下面通过一个例子来说明计算方法.

例6.6.16　有一长为l，质量为m的均匀直棒，在它的一端垂直线上离该端点a处有质量为M的质点，求该直棒对质点的引力.

解　根据题意，建立如图6.30所示的坐标系，并设引力为F，水平分力为Fx，铅直分力为Fy.

取x为积分变量，设[x，x+dx]为[0，l]上任一微小区间，这一小段直棒可近似看成质点，其质量为，与M相 距.依照两质点间的引力计算公式可求出这段直棒对质点M的引力为

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图6.30　例6.6.16图示

因为引力是矢量，它在x方向与y方向的引力微元的大小分别是

所以，水平方向（x轴正向）和铅直方向（y轴负向）的引力大小分别是

*6.6.4　其他应用举例

1.定积分在经济学中的应用

（1）收入流和支出流的现值与将来值.

在现代经济理论中，要论述商品交易的款项的时间价值.一笔P元现金若按年率r作连续复利计息，则P元在t年后的现金值Pert称为P元将来值，而P元在t年前的现金值Pe-rt称为P元现值.

收入和支出款项往往是一个连续过程，一般随时流进和流出，这种收入可被表示为一连续的收入流，这种支出也可被表示为一连续的支出流，收入流和支出流都是时间t的函数f（t）（元/年），它是一速率，且随着时间t而变化.

①收入流和支出流的现值.设f（t）为收入流（或支出流），在[0，T]上任一时间段[t，t+dt]内的收入（或支出）为f（t）dt，若按年率为r的连续复利计息，其现值为f（t）e-rtdt（即收入或支出现值微元），由微元法，在[0，T]内的收入（或支出）的现值P为

若收入流（或支出流）f（t）＝a（常数），称此为均匀收入流（或均匀支出流），按年率为r的连续复利计，则收入（或支出）的现值为

②收入流和支出流的将来值.设f（t）为收入流（或支出流），在[0，T]上任一时间段[t，t+dt]内的收入（或支出）为f（t）dt，在以后T-t期间内若按年率r的连续复利计息，其将来值为f（t）er（T-t）dt，则在[0，T]内的收入（或支出）的将来值B为

同样，当f（t）＝a（常数），则收入（或支出）的将来值为

由于，所以可以很清楚地看到将来值和现值之间的关系为

B＝Pert或P＝Be-rt

例6.6.17　好酒的价格是随着年头增长的，一个酒商就要考虑是现在以每瓶P元的价格出售，还是将来以更高的价格出售.假设知道t年后一瓶P元酒的价格将变为元，且酒商还要支付均匀支出流为0.05P元/年的储存费，设以年率5%作连续复利方式计息，那么何时是出售酒的最好时机？

解　一瓶酒t年后的价格为元，其现值是.储存费用是均匀流，在t年内存储费用的现值是.这样，利润的现值为

令L′（t）＝0，则有

因在定义区间内只有唯一驻点，且是求出售酒的最好时机，因此，在第9.7年出售酒最好.

（2）消费者剩余和生产者剩余.

在市场中，生产并销售某一商品的数量可由商品的供给与需求曲线描述.供给曲线是描述生产者将提供的不同价格水平的商品的数量，通常当价格上涨时，供给量也上升.需求曲线是描述顾客购买的不同价格水平的商品的数量，通常价格的上涨将导致购买量的下降.

对生产者和购买者来说，商品的价格取决于市场，即商品的价格由市场来确定.生产量和购买量是依赖于价格，数量被看作价格的函数，价格看成一自变量，但在经济学上习惯于数量作为自变量，价格作为因变量.典型的供给与需求曲线都是单调的，供给曲线单调上升，需求曲线单调下降，但是，供给量和需求量是两个可以互相作用的相对的函数.

供给曲线与需求曲线的交点N称为平衡点，通常假设市场将趋向于平衡点的平衡价格和平衡数量，即p*和q*，这意味一种数量为q*的商品将以每件价格为p*销售，如图6.31所示.

图6.31　供给曲线与需求曲线

消费者剩余（或盈余）指消费者以平衡价格p*购买某商品而没以较高的原来价格购买该商品q*件而节余的钱数.在图6.31所示中，由曲边三角形p1Np*面积表示消费者剩余，可表示为

生产者剩余（或盈余）指生产者以平衡价格p*出售某商品而没以较低的原来价格出售该商品q*而获得的额外钱数.在图6.31中，由曲边三角形p*Np0面积表示生产者剩余，可表示为

例6.6.18　在某商品买卖中，给定供应曲线与需求曲线，求

（1）该商品买卖的平衡点.

（2）消费者剩余和生产者剩余.

解　（1）求供应曲线和需求曲线的交点，得q*＝200（件），p*＝40（元），平衡点（q*，p*）＝（200，40）.

（2）由消费者剩余公式可得消费者剩余是

由生产者剩余公式可得生产者剩余是

2.定积分在医学中的应用——人体心脏输出的血液量的测量

人的心血管系统的运行是血液通过经脉从身体各部位返回右心房，再由肺动脉把血液压到肺部进行氧合作用后经肺静脉返回左心房，又通过主动脉流入身体各部位.心脏输出是单位时间心脏输出的血液量，又称作血液流向动脉的流速.

染料稀释方法是用来测量心脏输出的方法，把染料注射入右心房，按心脏血管系统的运行，又从心脏流入主动脉，在主动脉内插入一探针，在一个时间区间[0，T]内，以相同的间隔测量染料的浓度，直至染料全部流逝.

设c（t）是时刻t的染料浓度，F是血流速度（单位时间的血流量），在[t，t+dt]时间段内，染料量元素为dA＝F·c（t）dt，它在[0，T]上的定积分为染料总量为

故心脏输出的血流速度为

例6.6.19　已知注入右心房的染料总量为5mg，染料浓度c（t）（单位：毫克/升，mg/L）测得数据如表6.2所示.

表6.2　例6.6.19的表

试计算心脏输出.

解　利用公式先计算，这里T＝10，Δt＝1，

又染料总量为5mg，即A＝5.故血流速度

本节介绍了定积分的微元法思想，并通过具体例题介绍了定积分在几何、物理等方面的重要应用.正如人们常说的，学以致用.除了上述的例子以外，定积分在生活与实践中还有很广泛的应用.希望读者领会其中的思想，将其作为一种工具去解决各种实际问题.