第7章 积分

微分学的基本问题是：研究如何从已知函数求出它的导函数.那么与之相反的问题是：已知一个函数的导函数，求原来的函数，由此产生了积分学.一元函数积分学的内容主要包含两部分：定积分与不定积分.

定积分的思想在古代就已经荫芽，但是17世纪下半叶之前，有关定积分的完整理论还未形成.直到牛顿-莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建立发展起来，并对数学的进一步发展做出了巨大的贡献.在初学定积分时，学生学习的困难较大，所以先引进求导的逆运算一一求不定积分，为学生的学习提供了方便，拓展了学生的思维.

定积分既是一个基本概念，又是一种基本思想.定积分的思想即“化整为零→近似代替→求和→取极限”.定积分这种“和的极限”的思想，在高等数学、物理、工程技术、其他的知识领域以及人们在生产实践活动中具有普遍的意义，很多问题的数学结构与定积分中 “和的极限”的数学结构是一样的，教材通过对曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等实际问题的研究，运用极限方法，分割整体、局部线性化、以直代曲、化有限为无限、变连续为离散等过程，使定积分的概念逐步发展建立起来.