7.1 不定积分

7.1 不定积分

20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等的产生和发展，相继出现各种各样的微分方程，通过不定积分我们得出这些问题解，从而处理各种科学问题，促进社会发展.

案例1 在几何中的应用

曲线方程 设曲线通过点（1，2），且曲线上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程.

解 设所求曲线方程为y=f（x），依题意，曲线上任一点（x，y）处的切线斜率为即f（x）是2x的一个原函数.2x的不定积分为

因此必有某个常数C使f（x）=x2+C，即曲线方程为y=x2+C曲线族中的某条.

又所求曲线通过点（1，2），故

2=1+C,C=1,

于是所求曲线为

y=x2+1.

案例2 在物理中的应用

结冰厚度 美丽的冰城常年积雪，滑冰场完全靠自然结冰，结冰的速度由（k＞0为常数）确定，其中y是从结冰起到时刻t时冰的厚度，求结冰厚度y关于t的函数.

解 根据题意，结冰厚度y关于时间t的函数为

其中常数C由结冰的时间确定.

如果t=0时开始结冰的厚度为0，即y（0）=0代入上式得C=0.

这时为结冰厚度关于时间的函数.

案例3 在经济学中的应用

边际成本 已知某公司的边际成本函数，边际收益函数为.设固定成本是10000万元，试求此公司的成本函数和收益函数.

解 因为边际成本函数为，所以成本函数为

又因固定成本为10000万元，即C（0）=10000（万元），即

所以C=10000-1=9999（万元）.

故所求成本函数为（万元）.

因为边际收益函数为.所以

又当x=0时，R（0）=0可得C=-1.

故所求的收益函数为