11.1  二次型化标准形

二次型f（x₁，x₂，…，x_n）=x^TAx化标准形有两种方法：

（1）正交变换法

通过正交变换x=Qy（其中y=（y₁，y₂，…，y_n）^T，Q是n阶正交矩阵），将f（x₁，x₂，…，x_n）化为标准形λ₁y²₁+λ₂y²₂+…+λ_ny²_n.

这里的Q和λ₁，λ₂，…，λ_n（它们都是A的特征值）可从A正交相似对角化中算出，即

（2）可逆线性变换法

通过可逆线性变换x=Cy（其中y=（y₁，y₂，…，y_n）^T，C是n阶可逆矩阵），将f（x₁，x₂，…，x_n）化为标准形d₁y²₁+d₂y²₂+…+d_ny²_n.

这里的C和d₁，d₂，…，d_n可从A合同对角化中算出，即具体可对f进行配方得x=Cy.