3.1.2  行星齿轮运动学

3.1.2 行星齿轮运动学

为了解行星齿轮变速器的工作原理，下面先介绍行星齿轮机构的运动规律。

3.1.2.1 单排单级行星齿轮机构的运动规律

由于单排行星齿轮机构有两个自由度，因此它没有固定传动比，不能直接用于变速传动。为了组成具有一定传动比的传动机构，必须将太阳轮、齿圈和行星架这3个基本元件中的一个加以固定，使其速度为0，或以别的方式进行约束，使行星排变为只有一个自由度的机构，获得确定的传动比。图3-2为单排单级行星齿轮机构结构简图。

图3-2 单排单级行星齿轮结构简图

1—太阳轮 2—齿圈 3—行星架 4—行星轮

设太阳轮、齿圈的齿数为z₁、z₂，节圆半径分别为r₁、r₂；行星架的当量齿数为z₃，行星轮与太阳轮的中心距为r₃。

单级行星齿轮机构3个基本元件间的齿数关系：

z₁＜z₂<z₃且z₁+z₂=z₃

作用于太阳轮1上的力矩为

M₁=F₁r₁（3-1）

作用于齿圈2上的力矩为

M₂=F₂r₂（3-2）

作用于行星架上的力矩为

M₃=F₃r₃（3-3）

令齿圈与太阳轮的齿数比为α，则

由行星轮平衡条件可知

F₁=F₂，F₃=-2F₁

因此太阳轮、齿圈和行星架上的力矩分别为

根据能量守恒定律，3个元件上输入和输出功率的代数和应等于0，即

M₁ω₁+M₂ω₂+M₃ω₃=0（3-6）

式中ω₁、ω₂、ω₃分别为太阳轮、齿圈和行星架的角速度。

将式（3-5）代入式（3-6）可得

ω₁+αω₂-（1+α）ω₃=0（3-7）

若以转速代替角速度，则上式可写成

n₁+αn₂-（1+α）n₃=0（3-8）

式（3-8）是单排单级行星齿轮机构一般运动规律的特性方程。由式（3-8）可知在太阳轮、齿圈和行星架这3个元件中，可任选两个分别作为主动件和从动件，而使另一元件固定不动（即使该元件转速为0），或使其运动受一定的约束（即该元件的转速为某固定值），则整个轮系以一定的传动比传递动力。

1）以太阳轮1为主动件，行星架3为从动件，齿圈2固定，即n₂=0，则传动比为

传动比i₁₃>1，为减速传动。

2）以齿圈2为主动件，行星架3为从动件，太阳轮固定，即n₁=0，则传动比为

传动比i₂₃＞1，为减速传动。

3）以太阳轮1为主动件，齿圈2为从动件，行星架固定，即n₃=0，则传动比为

传动比i₁₂＜0，为减速倒档传动。

4）若使n₁=n₂，则

在n₁=n₃或n₂=n₃时同样可得n₁=n₂=n₃，即若使任意两个元件连成一体转动，则第三元件的转速必然与前两者转速相等，即行星齿轮系中所有元件之间都没有相对运动，即传动比为1，称为直接档。

若所有元件都不受约束，则都可以自由转动，行星齿轮机构失去传动作用。

由几排行星齿轮机构组成的行星齿轮变速器，其传动比可根据上述单排行星齿轮机构特性方程式推导出来。

3.1.2.2 单排双级行星齿轮运动规律

对于单排双级行星齿轮机构其运动方程的推导过程与单级行星齿轮机构略微不同，其结构简图如图3-3所示。双级行星齿轮机构包括太阳轮1、齿圈2、行星架3、行星轮4和行星轮5，行星轮4和行星轮5相互啮合，且分别与太阳轮1和齿圈2啮合。

设太阳轮、齿圈的齿数为z₁、z₂，节圆半径分别为r₁、r₂；行星架的当量齿数为z₃，行星轮与太阳轮的中心距为r₃。

图3-3 双级行星齿轮机构结构简图

1—太阳轮 2—齿圈 3—行星架 4、5—行星轮

单级行星齿轮机构3个基本元件间的齿数关系如下

z₁＜z₂＜z₃且z₂-z₁=z₃

作用于太阳轮1上的力矩为

作用于齿圈2上的力矩为

作用于行星架上的力矩为

(https://www.daowen.com)

式中，r₁、r₂、r₃、r₄分别为太阳轮1、齿圈2、行星轮4和行星轮5的节圆半径。

行星轮4所受的力分别为F₁、F₅、F₃。根据行星轮4受力平衡条件可知

行星轮5所受的力分别为F₂、F₄、F₅′。根据行星轮5受力平衡条件可知

F₅与F₅′是行星轮4和行星轮5之间的作用力与反作用力，即

F₅=-F₅′（3-18）

将式（3-18）代入式（3-16）和式（3-17）可得

由于

代入力矩方程有

根据能量守恒定律

进而可推导出单排双级行星齿轮机构一般运动规律方程式

单排双级行星齿轮机构的传动比与单级行星齿轮机构有较大不同：

1）以太阳轮1为主动件，行星架3为从动件，齿圈2固定，即n₂=0，则传动比为

传动比i₁₃＜0，为倒档传动。倒档速比的大小根据太阳轮和齿圈的齿数比确定。

2）以齿圈2为主动件，行星架3为从动件，太阳轮固定，即n₁=0，则传动比为

传动比i₂₃＜1，为增速传动。反之以行星架为主动件，齿圈为从动件则为减速传动。

3）以太阳轮1为主动件，齿圈2为从动件，行星架固定，即n₃=0，则传动比为

传动比i₁₂＞1，为减速传动。

单排单级行星齿轮机构和双级行星齿轮机构按照不同的传动可得两个减速档，两个增速档和2个倒档。传动方案分别见表3-1和表3-2。

表3-1 单级行星齿轮机构传动方案

表3-2 双级行星齿轮机构传动方案

行星排的运动还有另外一种运动分析方法。将行星轮系看做由定轴轮系转化而来，太阳轮、齿圈和行星轮都看做是支撑在行星架上的齿轮，当行星架固定不动时为定轴轮系，当行星架以太阳轮轴线（或齿圈轴线）为中心线旋转时就变成了行星轮系。因此行星排的运动可以看做是两部分运动的合成。

1）行星架带着其上各齿轮（包括太阳轮和齿圈）以行星架转速作整体运动，这是牵连运动，牵连运动中各齿轮不产生啮合传动。

2）行星架上相互啮合的齿轮相对行星架作啮合传动，这是相对运动。

只有牵连运动而无相对运动时，则整个行星排作整体转动，称为闭锁成直接传动。只有相对运动而无牵连运动，则变为定轴传动。

对于相对运动，即站在行星架上观察时，各轮传动如定轴轮系，存在一定的转速关系，如下式所示：

对于单级行星齿轮机构，上式α取正号，得

对于双级行星齿轮机构上式α取负号，得

行星轮相对于行星架的转速可以由下式求得

式中，n_p为相对行星架转速；z_p为行星轮齿数。

3.1.2.3 行星齿轮机构力矩分析

行星齿轮中的三元件不仅传递速度关系，三元件传递的力矩也存在一定的关系。分析行星排内部作用力矩时，假设处于匀速转动工况，各元件作等速旋转，忽略惯性力矩的影响。

根据行星齿轮机构力矩方程可知：

单级行星齿轮机构

或

双级行星齿轮机构

或