7.3.2  摩擦自激振动的主动控制理论

7.3.2 摩擦自激振动的主动控制理论

若方程（7-4）中的摩擦力F和x（t）已知，可采用基于摩擦模型补偿的PD主动控制，也就是如下方程

式中e=x_m-x；；

x_m——已知的系统期望输出；k_p和k_d——分别表示比例和微分系数。

把方程（7-27）代入方程（7-4）可得如下动态误差方程

由于在定位调节中的平衡位置参考输入，方程（7-28）可以写成如下方程

显然，如果取向量k=（k_d，k_p）T使H（s）=s²+k_ds+k_p为Hurwitz，则有。

在实际工程中，位移x是可以检测到的，但摩擦力F很难精确检测或建模得到。对摩擦项F来说，由于建立精确动态摩擦模型的高难性，获到精确算法方程（7-27）是不可能的。为此，用前文的模糊系统替代方程（7-27）中的摩擦项可得

式中——前文提到的模糊系统。把方程（7-30）代入方程（7-4）可得如下动态误差方程

定义最优参数向量为

式中Ω_w——w的界。

那么最小逼近误差可表示如下方程

由方程（7-26）和方程（7-33），知方程（7-31）可写成如下

式中∗。

方程（7-34）也等价如下形式(https://www.daowen.com)

式中

定理1.如果采用式（7-36）和式（7-37）作为主动控制器，其中自适应参数由式（7_-38）在线调节

式中，是投影算子。

正定解P>0满足下面的李雅普诺夫方程

A^TP+PA=-Q（7-39）那么，可得到。证明：取Lyapunov函数为

求V沿方程（7-40）的微分，可推出

因为，并结合式(7-35)可得

由方程（7-38）和方程（7-39），上面方程对消一部分后可得到

因此，可以得到下面不等式

式中 λ_min（Q）——Q的最小特征值。

对上式两边积分并取λ_min（Q）>1，可以得到

如果ε∈L₂，可得到e∈L₂。由于方程（7-35）右边的所有变量是有界的，也就是e·（t）∈L¥。由Barbalat引理[15]可知。