2.3.6　正态总体中其他几个常用统计量的分布

2.3.6　正态总体中其他几个常用统计量的分布

以下我们给出几个涉及正态总体样本均值与样本方差的抽样分布。

定理2.3.3 设X1，X2，…，Xn是来自总体N（μ，σ2）的样本，和S2分别是样本均值和样本方差，则有

（2）与S2相互独立。

证明略。

依据上述定理，当样本来自正态总体时，因为

于是有如下结论：

定理2.3.4 设X1，X2，…，Xn是来自总体N（μ，σ2）的样本，和S2分别是样本均值和样本方差，则有

证 因为，所以，而，且与相互独立，于是根据t分布的定义有

定理2.3.5 设X1，X2，…，Xn1与Y1，Y2，…，Yn2分别是具有相同方差的两个正态总体N（μ1，σ2）与N（μ2，σ2）的样本，且这两个样本相互独立。记

则有

(https://www.daowen.com)

其中，

证 （1）根据定理2.3.3有

又由于X1，X2，…，Xn1与Y1，Y2，…，Yn2相互独立，因此与相互独立，于是按照F分布的定义

即

（2）因为

所以

又因为

所以有

于是根据t分布的定义有