第2节 三角函数的无限小解析
中国的三角函数无限小解析的研究从康熙四十年（1701）的耶稣会士杜德美（Pierre Jartoux，1669—1720）来华开始，以鸦片战争后的全面西洋化告终，是清朝历算学精华中的精华。[21]研究的时期完全覆盖了古典主义的清朝中期，比起称研究者是在历算学上也造诣很深的古典学者或经学者，不如称其为擅长古典学和经学的“畴人”——历算学专家。
杜德美，法国人，19岁加入耶稣会，1701年来华。1708年开始，为了制作全国地图，他着手于冀北、辽东的测量。中国最初的近代地图《皇舆全览图》（1718）正是那时的测量成果。
梅瑴成（1681—1763）汉译了杜德美传来的三个无限级数式——“西士杜德美法”，收录于自己的《赤水遗珍》。若将语言代数的标记法改为现代式，便是：
杜德美法是微积分学成立的前夜，由曲线的求积而得到的结果。说其理论属于17世纪末叶欧洲第一流的数学知识也不为过。然而梅瑴成的汉译中，没有提到一句关于演算式的证明和支撑公式的理论。
中国的历算学者在与圆函数的无限级数展开式相遇后，在公式之外什么都没有的状态下，开始了基础理论的研究，得出一个又一个结论，最终甚至解决了椭圆积分范畴的问题。确定了这个无限小解析研究方向的是蒙古族钦天监监正明安图。
明安图（约1692—1763）从大概乾隆初年（1736）开始研究杜德美法。经过二十余年对其理论根据的考察，著书《割圜密率捷法》。他生前没能看到定稿的完成，1774年，门徒陈际新整理补充他的遗稿，编定了四卷本。刊行直到道光十九年（1839）才实现。
图6-2
明安图延续杜德美法，用西来的“割圆连比例术”解释与微积分学密切关联的圆函数的级数展开式，定下了学术基础。割圆连比例术是指，利用一系列的二等边相似三角形——连比例三角形中的连比例，分析分割圆时产生的三角函数的方法，最初记载于《数理精蕴》（1723）。现在如果要把明安图的割圆连比例术用正弦的级数展开（杜Ⅱ）——“弧背求正弦”算定法的例子说明的话，如下所示。即对于图6-2的符号以及圆弧ACD（=2a）的n分之1（n分的一弧以及一分弧）中产生的通弦c1/n，（1）三、五、七等分圆弧ACD，对应分割逐一制成连比例三角形，确定奇数分弧（全弧）的通弦率。
（2）同样地，求得二分弧的通弦率。
顺着同率数，算出偶数分弧的率c=f（c1/2n）。（3）用级数的代入法从五分弧、二分弧求得十分弧的率。继续在n=100，1 000，10 000里推导出通弦率。（4）n→∞时，nc1/n→2a，算出弧背求通弦式。
（5）从弧求弦式算出正弦的级数展开式（杜Ⅱ）。
明安图如上所示以无限小几何学完成了自己的割圆连比例术。以此为基础在无限小几何学里展开新方向的是董祐诚的《割圆连比例术图解》（1819）和项名达的《象数一原》（1849年绝笔序，1857年戴煦补，1885年刊）。
董祐诚（1791—1823）制成了与明安图完全不同的“弦矢递加成连比例图”，遵循其唯一的算图，可算定代数几何的倍分通弦率。与《割圜密率捷法》相比，作图合理化这种几何学上的进步也十分显著，令人瞠目的是对于通弦率，其利用宋元以来的垛积术算出一般式（cn是n倍弧的通弦）。
明安图仅仅把弧求弦的级数式当作百分弧、千分弧、万分弧的通弦率的极限导出，而它作为普遍的方法并不完全，完全普遍的方法至少需要n倍弧和n分弧的一般式。但是董祐诚从奇数分弧的率（董Ⅰ）立刻算出弧求弦式（明Ⅳ），还未考虑到偶数分弧。项名达（1789—1850）针对董术的这些问题点，加上了代数几何的分析，制成了新的连比例三角形并推导出：
计算这个数学式的收敛值，就得出了杜德美算法。
割圆连比例术是代数的无限小几何学。明安图赋予了此术这种特征，但项名达、戴煦、徐有壬等通过级数式记号法和演算法的改良，进一步强调了其代数的特征，终于超越了割圆连比例术，成功发展了圆的解析理论。
项名达的椭圆求周术在现代数学中属于椭圆积分的领域，是十分难解的理论。如果写下结果，项名达对于
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算出了椭圆的周长s（《象数一原》卷6）。
戴煦（1805—1860）在《外切密率》中，叙述正割的级数展开式
与欧拉数（Euler Number）En的逐次算定法，在《假数测圆》中，记载了正割的对数的展开式（μ=log10e）。
徐有壬（1800—1860）发明了新的代数记法（图6-3）——缀术，几乎仅通过在代数式里进行代数演算，就完备地获得圆函数的级数式（《割圆八线缀术》）。
图6-3
圆的无限小解析如上作为割圆连比例术——代数几何的求长理论而发展，但这并不意味着在求积理论没有新的发现。李善兰的尖锥术便是中国式的积分法。
李善兰（1811—1882）“思割圆法非自然，深思得其理”[22]——虽然他研究董祐诚的割圆连比例术，学习了垛积术与圆的无限小解析的结合，但想到了董术的别扭之处，也就是用一种求积理论的垛积术展开求长理论之“非”，比较垛积术与圆函数的级数式各项，并从中思考尖锥术。《方圆阐幽》（1845年左右）记录了尖锥术的诸定理，“高”是h，“底”的面积及长度是ahn，“尖锥”的体积和面积是h×ahn÷（n+1）（图6-4）。这种演算相当于现代数学的定积分：
图6-4
李善兰用尖锥术，算出了三角函数和逆三角函数以及对数函数等的级数展开式（《弧矢启秘》等）。
中国的无限小解析的发展基本如上所示，其研究史在学术理论上应该用演绎推论主义的自我展开来把握。
本来，杜德美法与象征16、17世纪欧洲科学革命的微积分学在历史、理论上紧密相连，因此必然地在自身的学说内部包含了微积分学的两个基本理念——（1）记号代数学与（2）无限小几何学的理念。所以中国的历算学大师通过研究杜德美法，全盘接受学习了这两个理念，慢慢地被这两个理念所影响，用几何的解释赋予代数演算以意义，同时凭借代数演算的应用跳出几何思考的局限。换言之，中国的无限小几何学通过对割圆连比例术的代数化，提高了学术水平，深化了认识，终于发现了自己在思考和方法上的局限，再借由代数化在否定自己的思考和方法之上，进行新的发展。这样的学术发展和理论中，除了纯粹且高度的数学思考以外别无其他。正因这些特征，中国的无限小解析总体上才能被称为演绎推论主义的自我展开。
中国的无限小解析是一种理念依存于演绎的推论主义，割圆连比例术直接建立在西方传来的理论上，学术谱系方面也直接从欧洲近代数学而来，不过无可置疑，不管哪一本著述都充满了中国传统历算学色彩，展现了与近代数学迥然相异的面貌。具体表现在：（1）无限小解析是从割圆术发展而来，（2）其学术发展中垛积术是不可或缺的，等等。
割圆术最初见于3世纪刘徽的《九章算术注》，刘徽以6、12、24……等分了圆（全圆周），把圆周率π=3.141 6当作内接正多角形的面积的极限而算出。11世纪后半期沈括的《梦溪笔谈》分析了割分圆中弧、弦、矢的关系（会圆术）。13世纪后半期编纂的授时历应用沈括的算法，推导出赤道坐标和黄道坐标的变换式。[23]
此外，垛积术是中国古来的高阶等差级数的求和法。沈括的《梦溪笔谈》中，求得物体堆积成梯形（二阶等差级数）的总数，创始垛积术。杨辉的《详解九章算法》（1261）把堆积方法扩展到了方锥、三角锥。朱世杰的《四元玉鉴》（1303）求得高阶等差级数的基本求和式，也用阶差确定了原数列的一般项，从而完成了垛积术。授时历也“以垛积招差立算”，用三次式插值日月的不规则运动。[24]
以上述中国算学的学术传统为前提而论，无限小解析的历史发展的过程是在历算学大师受到中国古来算法尤其是割圆术和垛积术的启发的同时，纯理论地引申了西来的割圆连比例术，并据此中国式地分析了杜德美法，或者说令西法理论脱胎换骨，发明中法的积分理论（尖锥术）。换句话说，圆函数的无限小解析研究也与戴震的三角法和李锐的方程式论一样，必须被当作“中西会通”的一个卓越成就来看待。
然而圆函数的无限小解析若是中西会通的产物，那么理所当然地必须承认尚古主义和古典主义对它的影响。事实上，董祐诚曾惊讶于古法的优秀（无不至者），并将其记录在《割圆连比例术图解》后序中。
余以垛积释比例，而三角及方锥堆，三乘以下旧无其术。近读元朱世杰《四元玉鉴》“茭草形段”“果垛叠藏”诸问，乃知递乘递除之术，近古所有，而远西之士，尚能守其遗法，有足珍者。
此外，罗士琳为明安图的《割圜密率捷法》写的跋，评论西法的中比例和借根方等“初非西人所独创”“究亦本诸中法”等。[25]从以上两例推论不难想象，西学中源说不仅是中法研究者，同时还是西法研究者的基本认识。可是，这种尚古主义如董祐诚的后序中所写，对数理体系的构建没有产生一丝影响，这是无法改变的事实。古典主义者们只不过是针对以演绎的推论主义为基础的数理体系——理论上的必然，于完成之际基于自己的意识形态加以经学的评价和润色，画蛇添足地披上西学中源说——古典主义的外衣而已。在圆函数的无限小解析方面，古典主义和尚古主义从研究主题的设定到数理展开，都不曾对理论完善产生过一点影响，只不过是在表面上的外部装饰而已。