第1节 汪莱与李锐的方程式论
清朝到了嘉庆期间，学术研究与乾隆时期相比有了很大的变化，新类别的研究登上了历史的舞台。尚古主义以及古典主义摈弃了戴震学、乾隆学的狂热主义，开始展现出了理性的样貌。清楚展现出这一点的莫过于在历算学领域中的汪莱与李锐的方程式论。[4]
汪莱（1768—1813），字孝婴，号衡斋，安徽歙县人，嘉庆中期，以优贡生身份进入史馆，持续进修天文志与时宪志。他精通中西双方的历算学，同时经史百家之学的造诣很高，尤其是对《十三经注疏》倒背如流。著书有《衡斋算学》7册和《十三经注疏正误》《说文声类》等。
关于中国方程式的理论研究，到了汪莱才有了新的发展。分析方程式的正根有无是其代表。本来，方程式的数值解析是中国传统数学的核心之一，其发展的历史可以简单地归纳为：最晚是在汉代以平方、立方的开方术为基础获得一般二次方程式的解法，宋元时期完成了解任意次数的高次方程式的普遍算法——增乘开方法。[5]然而由于实用主义以及务实思想根植于数学的理念与方法，在数值解析中考量，这个解法局限是只能求算正根而且是唯一的正根。只有汪莱的《衡斋算学》第五册中收录的“一乘方二乘方形，根方多少糅杂，每根之数知不知条目”果敢地超越这样的局限，在方程式的代数性质方面开辟了新的类型的研究。
嘉庆六年（1801），汪莱从焦循（1763—1820）处借得李治的《测圆海镜》（1248）、《益古演段》（1259）和秦九韶的《数书九章》（1247）（《第五册算书焦记》），还与江藩一同“察秦九韶开方术及李治天元一术”[6]。同年冬天，汪莱寄信于焦循（《第五册算书跋·汪记》），“甚言秦李两家之（方程术之）非，而剖析其可知不可知”[7]。“秦李两家之非”具体指涉焦循在《汪莱别传》（《雕菰集》卷21）中列举的例子：（1）《测圆海镜》边股第五问中，尽管答案有240与576两种可能性，但李治的答案只有240步；（2）《数学九章》田域类第二题“尖田求积”正根有240与840两个数，但秦九韶“只以八百四十为答”等。[8]在汪莱看来，真正的“知”指正确地认识什么是不可知的，而李治和秦九韶的方程术与“知”的本义相反，“多以不可知为知”（上述二例便为实例），因此断不可容忍。汪莱这样考虑——“多以不可知为知者，遂就二乘方（三次方程式）以下简且易者，略为条目以正之”（《第五册算书汪序》）。[9]
汪莱接着又对解二次乃至三次方程式，分条件逐一考察了怎样确定系数和定数项的正负来确定唯一的正根——答数。此考察首先需要注意的就是其独特的专业术语，用“可知”与“不可知”表示答数的有无。也就是说，“可知”意味着唯一确定方程式的正根的值——“每根之数”。反过来，“不可知”是指不可能确定答数，不可知方程式是指不存在正根或者存在多个正根的方程式。其次需要注意的是以二次的ax2-bx-c=0（a，b，c＞0）为起点，判别合计96种方程式的可知与不可知，但这样的考察完全不按照顺序进行，重复遗漏也不少。如果把重复去掉，那么最多不超过下面的16种（a，b，c，d＞0）。[10]各个式子的左边数字有记载的顺序。关于二次方程式（一乘方形）汪莱解析如下：
1.ax2-bx-c=0 可知[11]
2.ax2+bx-c=0 可知
5.ax2-bx+c=0 不可知
关于三次方程式（二乘方形），解析如下：
3.ax3-cx-d=0 可知
4.ax3+cx-d=0 可知
7.ax3-bx2-d=0 可知
8.ax3+bx2-d=0 可知
49.ax3-bx2-cx-d=0 可知
50.ax3+bx2-cx-d=0 可知
52.ax3+bx2+cx-d=0 可知
9.ax3-cx+d=0 不可知
11.ax3-bx2+d=0 不可知
53.ax3-bx2+cx+d=0 不可知
55.ax3-bx2-cx+d=0 不可知
57.ax3+bx2-cx+d=0 不可知
51.ax3-bx2+cx-d=0 bc/a＜d 可知
bc/a＞d 不可知
一目了然，除去第51例其他的结论都是正确的。
嘉庆七年（1802）秋，焦循拜访李锐，“与相参核”汪莱的96条“可知不可知条目”。“是秋予复在浙，尚之寓于孤山。买舟访之，以孝婴之书与相参核。尚之深叹为精善，复以两日之力作开方三例，以明孝婴之书之所以然。”[12]“开方三例”后来收录在汪莱自己的著作《衡斋算学》第六册里，即《第五册算书跋》。
李锐（1768—1817），字尚之，号四香，江苏元和人。他是钱大昕的得意门生。阮元任浙江巡抚之时，李锐在其幕府从事《礼记正义》的校订与《畴人传》的编辑。著书有《周易虞氏略例》18卷、《弧矢算术》1卷和《开方说》3卷等。
李锐对汪莱上述的96条，提到“以正负开方为说，括为三例”。此开方三例记录如下（《第五册算书跋》）：
其一，凡隅实异名，正在上，负在下，或负在上，正在下，中间正负不相间者，可知。
其二，凡隅实异名，中间正负相间，开方时其与隅异名之从廉，皆翻而与隅同名者，可知。不者不可知。
其三，凡隅实同名者，不可知。[13]
以上三例使用开方术的用语，论述一般的高次方程式中系数的符号和正根个数的关系。第一例，如果系数列符号的变化只有一次，那么方程式只有一个正根。第三例，其变化次数如果是偶数次，那么正根不会只有一个。第二例，方程式得一个正根降一个次方。得正根后的新方程式里，如果系数都为同种符号，那么原方程式为可知；如果系数为不同符号，那么正根则不止一个。在汪莱的指摘和批判之前，“尚之之第二例，亦稍有未当处”[14]。根据该例，方程式x3-12x2+100x-800=（x-10）（x2-2x+80）=0一定得到多个正根，然而实际上只能得出唯一的正根x=10（《第五册算书跋·汪论》）。
李锐一边与汪莱争辩，一边改善自己的开方三例，终于在《开方说》中，展开论述酷似笛卡儿符号律的命题。笛卡儿的符号律是估计实系数多项式正根个数的一种方法，设：(https://www.daowen.com)
f（x）=a0xn+a1xn-1+…+an
它论述了系数列a0、a1、…an的符号变化数为μ的时候，f（x）=0的正根数为μ或比它少偶数个。李锐的符号律在《开方说》卷上的开头继续论述了开方术专业术语的定义，记载如下：
凡（1）上负下正，可开一数。除一，平方三，立方八，三乘方二十。（2）上负中正下负，可开二数。平方一，立方五，三乘方一十八。（3）上负次正次负下正，可开三数或一数。立方一，三乘方七。（4）上负次正次负次正下负，可开四数或二数。三乘方一。
第一命题的“上负下正，可开一数”是指系数列的符号变一次，方程式通常得到一个正根。另外“除一，平方三，立方八，三乘方二十”对拥有“上负下正”形式的一次、二次、三次、四次方程式，以系数的符号分类，便成了各次方1、3、8、20种的类型（图6-1）。
图6-1
也就是说，一次的该形式方程式仅为：
“实负法正” ax-b=0
二次方程式为：
“实负方空隅正” ax2-c=0
“实负方正隅正” ax2+bx-c=0
“实负方负隅正” ax2-bx-c=0
三次方程式为：
“实负方空廉空隅正” ax3-d=0
“实负方空廉正隅正” ax3+bx2-d=0
“实负方空廉负隅正” ax3-bx2-d=0
“实负方正廉空隅正” ax3+cx-d=0
“实负方负廉空隅正” ax3-cx-d=0
“实负方正廉正隅正” ax3+bx2+cx-d=0
“实负方负廉负隅正” ax3-bx2-cx-d=0
“实负方负廉正隅正” ax3+bx2-cx-d=0
共以上1种、3种、8种（a，b，c，d＞0）。第二命题以下代表的意思也相同，各个系数列的符号如果变了两次，那么这个方程式就有两个正根，变三次则有三个或一个，变四次有四个或两个。李锐接着又详细地记载了正根的个数根据符号的变化数μ而减少偶数个：
凡可开三数，或止一数，可开四数，或止二数。其二数不可开，是为无数。凡无数必两，无无一数者。[15]
中国数学便是这样通过汪莱与李锐的钻研，完成了与方程式相关的符号律。暂且不论当事者自身的意识，我们必须理解此理论研究实质上贯彻了演绎推论主义，是企图探求新的知识和知识体系的纯粹的数学事业。这演绎推论主义的事业的结果是，相比前代研究，其达到了完全不同维度的层次，成功地构建了新的知识体系，这是不言自明的。另外，从内部支撑起演绎推论主义——怀疑主义的方法存在于上述研究当中。就这一点来看，也能印证上述结论。
然而要进一步弄清这一点，除了分析两者的研究主题和问题提起的途径以外，便没有其他合适的方法了。因为（1）汪莱和李锐不是单纯地改良方程式解法，而是纯理论地解析关于方程式的代数性质，这与以前的实用主义方程术研究完全不同；（2）性质的差异尤为显著地表现在研究主题的选择中。汪莱在《第五册算书序》中，容许“以不知为知”，却不容忍“以不可知为知”，在靠着思辨的知识论探求“知”的过程中，创造了自己的方程式论主题。[16]换言之，汪莱通过高度的抽象以及形式上的推论法，“引申古人所未言”[17]——在把代数方程式相关的数学作为理论升华的过程中，展示了决定答数这类极为务实的要求。之后李锐继承了汪莱的研究主题，并把其中的项目一般化，通过反复的演绎与一般化的方法，完成对一般方程式符号与正根数关系的符号律的解释。不管是哪种情况，伴随着高度抽象的演绎推论，都在主题设定与理论考察方面起着本质性的作用。正因如此，可以证明两者的研究是纯粹的数字上的追求。
一方面，中国方程式论的抽象和思辨而产生的务实升华，当然受到西欧科学的深刻影响。但另一方面，笔者必须说其具体的知识和技法未受或几乎未受西学的影响。换言之，汪莱的96个项目在李治、秦九韶的方程术的学问基础上，针对各种代数方程式尝试“带纵平方长阔和法”“带纵扁立方法”等适当的中国式的根的算定法，并考察其可知不可知。另外李锐的符号律在深化汪莱的研究的同时，彻底地用数理分析了中国自古以来的增乘开方法，[18]构建了自己的“开方说”体系。最终，就汪莱和李锐的方程式论没有依据西洋历算学知识这一点而言，只能以普遍的看法即中法的成就——对宋元方程术的批判性继承来解释。然而，不舍弃他们的方法论以及思想层面上西法深刻却难以自觉的影响，把这个方程式论当作“中西会通”的成就来理解，就不应单纯地认为它是谬论而加以排斥。
罗士琳“论述”李锐的学术，并阐发了如下意味深长的见解（《畴人传续编·卷50·李锐·论》）：
尚之为钱少詹事（钱大昕）高弟。成蓝谢青。又能专志求古，不遗余力。继往开来，续残补欠，遂使二千年来沦替之绪，得大昌于世。是王（锡阐）、梅（文鼎）、江（永）、戴（震）诸君，不过开其先，犹不能践其实。而启籥穷源，则端自尚之始。厥功不诚伟哉。
在罗士琳看来，王、梅、江、戴主张的历算上的“复古”到了李锐才首次达到其实质，换言之，李锐的符号律在本质上也不过是“古法”。这种见解并非罗士琳的独创，而可以理解为当时的普遍说法以及李锐自身的意识显现。事实上，丁取忠也说：“自元和李尚之锐作开方说，而古法始复明于世。”[19]
如果按着李锐等的意识，即使不考虑古典知识的历史局限，纯理论地追求真正的命题而得出自己的方程式论，除了复古——“以己之性灵，合诸古圣之性灵”[20]以外也不剩下什么了。然而他们虽然是嘉庆时期的经学者，且将研究对象限定在复古和尚古主义中，但他们并不像戴震一样朝阻碍学术深化的方向发展。他们把自己的代数方程式论作为古代方程术在实质上的深化，保持着“柔软”的尚古意识，根据演绎的推论主义深化内容。他们虽然以尚古主义和古典主义为自我的规范，却也“引申古人所未言”，不将考察范围局限于古典考证。尚古主义到了嘉庆期间去除了清初的狂热主义，开始稍显理性的样貌的原因是，他们怀有对于原理非教条的——排斥“执一”的思考姿态。其中不仅有冷静与谦虚，还可以看到批判精神的横溢。
嘉庆期间，汪莱、李锐、焦循被称为“谈天三友”（《畴人传续编·李锐·论》），他们在学术上“切磋琢磨”的关系在方程式论研究方面最为显著。也就是说，他们通过互相借阅古籍并辩论，深化了对李治和秦九韶方程术的研究，最终还成功发现了关于一般方程式的符号律。当事者的意识里，这个研究被定位于复古——彰显古法上，但实质上它超越了古典主义以及经学的务实的典型，极其接近纯粹和理论的代数领域。汪莱与李锐的方程式论作为与前代相比更理性的嘉庆时期的学术乃至精神特征的第一手史料，必须说其价值不可估量。