2.1　多元多尺度分析、和规则和索伯列夫指数的计算理论

显然,A⊗B 是一个(IL) ×(JN)的矩阵。

对于1≤p ＜∞,定义Lp(ℝ s)是由所有满足

的Lebesgue 可测函数f 构成的集合。

记f∈(ℝ s)的范数为

本书的讨论将主要集中在L2(ℝ s)空间里,即p=2。

设f∈L1(ℝ s),我们如下定义f 的Fourier 变换

这里x·ξ 表示向量内积。

对于两个函数f,g∈L2(ℝ s),定义内积

对于α∈ℤs,如下定义Dirac 序列δ

定义2.1.2　如果s×s 膨胀矩阵M 相似于一个对角矩阵diag(σ1,…,σs),即存在一个s×s 可逆矩阵Λ 使得

由文献[55],s×s 矩阵M 是各向同性的当且仅当在ℂ s×1上存在‖·‖M 范数使得下式成立:

定义2.1.3　设M 是一个s×s 的膨胀矩阵,如果嵌套的闭子空间序列(Vi)i∈ℤ ⊂L2(ℝ s)满足

则称闭子空间序列(Vi)i∈ℤ 构成了L2(ℝ s)上的一个MRA。

如果条件(4)里的φ 为函数向量的形式,类似定义2.1.3,可以得到如下向量加细方程的定义。

定义2.1.4　设φ=[φ1,…,φr]T 是L2(ℝ s)上的一个函数向量,如果r 重函数向量φ:ℝ s|→ℂ r×1满足下面的向量加细方程

其中a∈(l0(ℤs))r×r,即是ℤs上r ×r 矩阵构成的一个有限支序列,则称φ 为r 重M-可加细函数向量,这里我们称a 是M-可加细函数向量的r 重mask 矩阵函数。当r=1 时,则称φ 是M-尺度函数。

对式(2.1)作Fourier 变换

其中

为了方便下面的讨论,(ξ)也被称为φ 的mask 矩阵函数。

由定义2.1.5,易见如果f 的平移是线性无关的,那么f 的平移必然是稳定的。此外,文献[46]还给出了如下关于稳定性的结论。

定义2.1.6　如果f 是属于(Lp(ℝ s))r×1 的紧支函数向量,f 的平移是稳定的,当且仅当存在两个正常数C1 和C2,使得对于任意v∈(lp(ℤs))1×r,有

注意到由于f∈(Lp(ℝ s))r×1是紧支函数向量,所以很容易证明式(2.4)是有上界的,即正常数C2 是始终存在的。事实上,根据传统线性无关的定义,对于一个紧支撑函数向量f=[f1,…,fr]T∈(Lp(ℝ s))r×1,如果对于任意序列c1,…,cr:ℤs|→ℂ,若下式成立

就必然有对于所有的β∈ℤs,cl(β) =0,l =1,2,…,r,则我们亦可称f 的平移是线性无关的(参见文献[46,51])。

下面则是关于Lp 临界指数的定义。

定义2.1.7　设0 ＜v≤1,0≤p≤∞,如果f∈Lp(ℝ s),且存在正常数C,使得下式成立

则称f∈Lip(v,Lp(ℝ s))。而且,对于f∈Lip(v,Lp(ℝ s)),如果有

则称vp(f)为函数f 的Lp 临界指数。

特别地,对于一个r 重函数向量f = [f1,…,fr]T ∈(Lp(ℝ s))r×1,本书约定vp(f):=min{vp(fl):l=1,…,r}。 f 的Lp 临界指数可以用来刻划函数f∈Lp(ℝ s)的Lp 光滑度。

下面这个十分重要的量索伯列夫指数vp(a;M)在多元可加细函数向量的研究中起到十分重要的作用。首先让我们回顾多元情形下k +1 阶和规则的定义(参考文献[44,45])。(https://www.daowen.com)

定义2.1.8　设a 是一个关于尺度膨胀矩阵M 和重数膨胀矩阵R 的mask 矩阵函数,如果存在一个序列y∈(l0(ℤs))1×r,其中(0)≠0,满足

这里k=0,…,m-1,k∈ℕ 0,则称a 在Mℤs上满足关于y 的k+1 阶和规则。

定义2.1.9　基于Fourier 变换形式频域上的k +1 阶和规则定义,在文献[45]里,具体描述了在时域空间上的k+1 阶和规则定义。在文献[61]和文献[45]中都已证明,如果一个紧支可加细函数(或可加细函数向量)的mask 矩阵函数a 满足k+1 阶和规则,那么φ 具有k+1 阶精确阶。

如文献[44]中给出的,对于给定的一个序列y∈(l0(ℤs))1×r以及k∈ℕ 0\{0},定义空间

利用卷积,显然有v0,y:=(l0(ℤs))r×1。

事实上,引用文献[44]里的结果,设a 是一个关于尺度膨胀矩阵M 的mask 矩阵函数,给定一个序列y∈(l0(ℤs))1×r,定义

于是,可以严格定义下面的量

式(2.10)里给出的量即Sobolev 指数vp(a;M)在刻划空间里向量Cascade 算法的收敛性以及在可加细函数向量的Lp 光滑度方面具有十分重要的意义。

下面的引理2.1.1 来自文献[45],是建立在时域空间上和规则定义之上的关于mask 矩阵函数的和规则阶数和可加细函数向量精确阶之间关系的一般性描述。

(1)φ 具有k+1 阶精确阶;

(2)a 满足k+1 阶和规则条件。而且,如果a 满足关于{yμ:μ∈,μ≤k}的k+1 阶和规则条件,且有y(0)Tφ(0) =1,那么

一般情形下,如果φ 是关于mask 矩阵函数a 和膨胀矩阵M 的可加细函数向量,则vp(a;M)刻划了可加细函数向量φ 的Lp 光滑指数的下界,即vp(a;M)≤vp(φ)。如果φ 是关于各向同性膨胀矩阵M 的可加细函数向量,且它的平移在Lp(ℝ s)中是稳定的,那么[48,定理4.1]则指出vp(a;M)就是可加细函数向量φ 的Lp 光滑临界指数,即vp(a;M) =vp(φ)(参见[48,定理4.1])。此外,通常情形下,当1≤p≤q≤∞,k∈ℕ 0\{0}时,还可有

特别地,如果当膨胀矩阵M 是各向同性膨胀矩阵,则v2(a;M)≥v∞(a;M)≥v2(a;M) -s/2。

文献[52]中提出了(M,R)插值型可加细函数向量的理论并引入了两个膨胀矩阵的假定。

由假定2.1.1,文献[18]指出,对应于膨胀矩阵M,总有

文献[45]中提出的CBC 算法(Cosets By Cosets Algorithm)的实质,就是将多元可加细函数和多元小波的构造问题细化成对多元函数在多元空间上各个陪集的构造问题,而相应mask 矩阵函数的构造问题也相应转化为对应于各个陪集的构造问题。同时,从某一个角度上看,如果我们在基于陪集的构造过程中,添加适当的约束条件,也能够使构造所得的mask 矩阵函数a,乃至可加细函数和小波函数具备相应的所需特性。

下面的结论来自于文献[56]。

引理2.1.2　设R 是s×s 阶膨胀矩阵,沿用假定2.1.1 里的记号,则有