3.2　Box 样条和(Ω)中的周期多尺度分析

3.2　Box 样条和 (Ω)中的周期多尺度分析

自1946 年Schoenberg 在文献[79]提出样条函数的概念以来,样条函数方法得到了迅速的发展和广泛的应用。 Box 样条函数是应用最广泛的一类多元样条函数,由于其具有许多优美的性质,Box 样条函数成为理论研究和工程技术领域最常用的工具,同时它也是许多多元小波构造的出发点。

相应于方向矩阵A 的二元Box 样条函数可由如下变换定义:

样条函数B(2,2,2)(t)的图像如图3.4 所示。

图3.4　样条函数B(2,2,2)(t)的图像

令

易知C (ω)为三角多项式,其级数形式可表示为

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(5) 具有中心对称性:

且有如下表示

(8)(t)满足如下两尺度方程

为构造(Ω)的一个周期多尺度分析,我们对B(t)周期化如下

则如下命题成立。

命题3.2.2　对任意j≥0,k∈Λ,设(t)由式(3.8)定义,则

对任意j≥0,k∈Λ,设t)由式(3.8)定义,令

则可以证明如下定理。