三、数 学
在中国古代，数学叫作算术，又称算学。古代的算术是六艺之一，六艺中称为“数”。人们在生产活动、商业计算等实践中，需要了解数字间的关系，逐渐形成了一门学问。秦汉是我国古代数学体系的形成时期。为使不断丰富的数学知识系统化、理论化，数学方面的专书陆续出现。
秦汉时期的计量单位有了较为统一的规定，例如，容量方面，秦始皇时的一升合今200毫升；重量方面，秦一两合16.02克，一斤合256.25克；尺度方面，秦一尺合现代23厘米；田亩方面，秦一亩合现代0.991亩。[23]西汉与东汉，在秦朝的这个比例上有少许波动。如果这些规定没有相对的统一，人们就无法从事相互之间的经济活动。这是农耕社会发展的基本要求，也是文明的进步。
秦始皇统一度量衡，是以战国时代商鞅变法以后的秦国度量衡制为标准。汉因秦制。东汉建武年间，整顿度量衡，由大司农颁发标准器，其标准仍与前代大致相同。
汉代长度单位为十进位的分、寸、尺、丈、引，而以六尺为步，三百步为里。据商鞅量的实物和铭文核算，秦一尺应为23.1厘米，而据满城汉墓的铁尺和曲阜九龙山汉墓残铜尺测定，西汉一尺为23.2~23.5厘米。新莽时，据传世的始建国元年(9年)的嘉量测算，一尺的长度应为23.1厘米。东汉前期，根据传世的建初铜尺，一尺的长度为23.5厘米。东汉后期，按照各地发掘出土的铜尺和骨尺，一尺约为23.8厘米。
汉代容量单位是“合龠为合，十合为升，十升为斗，十斗为斛(亦称石)”。当时的一斗为2000毫升。秦汉的重量，秦一石重为30.75千克；西汉一斤合今250~254克；东汉的一斤为250克。《汉书·律历志》记载:“二十四铢为两，十六两为斤，三十斤为钧，四钧为石。”
1984年年初，与《算数书》一起出土的一份历谱，所记最后一年是西汉吕后二年(前186年)，由此推断，《算数书》成书于前186年之前，反映的是前186年之前的算术。其中，有些题目是战国的，有些是西汉的。我们在前一章对《算数书》做了简要介绍，这里结合汉代相关内容再做论述。
《算数书》由200余枚竹简组成，其中完整的有185枚，10余枚已残破。有7000多字，分为68段，每段有标题。体例采用问题集形式，大多数题都由问、答、术三部分组成，每段的格式是先提出问题，再作回答，然后说明计算方法。
《算数书》未分章或卷，有标题诸如:相乘、分乘、乘、矰(增)减分、分当半者、分半者、约分、合分、径分、出金、共买材、狐出关、狐皮、负米、女织、并租、金贾(价)、舂粟、铜秏(耗)、传马、妇织、羽矢、桼(漆)钱、缯幅、息钱、
(饮)桼(漆)、税田、程竹、医、石衛(率)、贾盐、丝练、挐脂、取程、秏(耗)租、程禾、取枲程、误券、租吴(误)券、粺毁(毇)、秏(耗)、粟为米、粟求米、米求粟、米粟并、粟米并、负炭、卢唐、羽矢、行、分钱、米出钱、除、郓都、刍、旋粟、囷盖、睘(圜)亭、井材、以睘(圜)材(裁)方、以方材(裁)睘(圜)、睘(圜)材、启广、启从(纵)、少广、大广、方田、里田。彭浩先生说:“《算数书》是一部数学问题集，撰人不详。现存69个题名。完整的算题92个，单独成题的术文6个。”[24]
根据这些标题，学术界把《算数书》的内容可以分为两类:一类是以计算方法为题，如相乘、分乘、约分、合分等；另一类是以计算对象为题，如负米、税田、贾盐等(彭浩先生的分类也是两类:一类题名以算法命名，如合分、约分、乘、增减分等；另一类题名采自题文或由题文概括，如共买材、狐出关、传马、分钱、误券等)。从算题的内容而言，可以分为五类:一类是整数、分数运算，如增减分、乘。涉及加减乘除。二类是几何运算，如女织、井材。涉及平面图形的面积和多面体、圆体的体积计算公式。三类是利息、税率计算，如息钱、负米。涉及比例与比例分配。四类是兑换计算，如粟求米、米求粟。五类是田亩、产量计算，如方田、程禾。(https://www.daowen.com)
《算数书》有一些概念性的理论，如“母乘母为法，子相乘为实”，“分乘分术皆曰:母相乘为法，子相乘为实”，“增分者，增其子；减分者，增其母”。
《算数书》也列举了一些在平时生活中、交易中、测量中遇到的实际问题，如:
比例题:三人共(买)材，以贾(价)一人出五钱，一人出三(钱)，一人出二钱。今有赢四钱，欲以钱数衰分之……术曰:并三人出钱数以为法，即以四钱各乘所出钱数，如法得一钱。
盈不足题:分钱人二而多三，人三而少二。问几何人、钱几何。
《算数书》中的这些题目，在商业中会频繁遇到。如“今有盐一石四斗五升少半升，贾取钱百五十欲石率之，为钱几何?曰:百三钱四百卅□分钱九十五。”黄今言教授据这道题推测:“西汉前期私营煮盐时的盐价，1石约103钱，这和当时的粮价百钱上下大致接近。”[25]
《算数书》的小标题，有的以“里田”“税田”“金贾”“程禾”等命题，提供了社会经济方面的信息。汉墓出土的竹简上有民众经商的记载，如商贩契约、报表、账本，表明汉代的会计核算已有一定的规范。汉墓还出土了算筹(小竹棍)，这是当时流行的计算工具。
这里，有必要把《算数书》与汉代其他数学书进行一番比较，以便说明《算数书》的重要地位。西汉末年(约前1世纪)编撰的天文学著作《周髀算经》在数学方面主要有两项成就:一是提出勾股定理的特例及普遍形式；二是测太阳高、远的陈子测日法，为后来重差术的先驱。约成书于东汉初年的《九章算术》是一部经几代人整理、删补和修订而成的古代数学经典著作，在世界数学史上有多方面的贡献。《九章算术》的作者不详，但内容精深。它以问题集的形式，列出9个方面的数学问题，分别是方田(分数四则算法和平面形求面积法)、粟米(粮食交易的计算方法)、衰分(分配比例的计算方法)、少广(开平方和开立方法)、商功(立体形求体积法)、均输(管理粮食运输均匀负担的计算方法)、盈不足(盈与亏的计算方法)、方程(一次方程组解法和正负术)、勾股(勾股定理的应用)。这些都是与生产实践、生活结合紧密的计算问题，提供了解题的方法与思维过程。《九章算术》九章搜集了246个数学问题的解法，在世界上第一次记载了负数概念和正、负数的加减法运算法则，还记载了当时世界上最先进的分数四则和比例算法。汉初的张苍，宣帝时的耿寿昌，成帝、哀帝时的许商、杜贵都是数学家。《后汉书·马援列传》记载了马援的侄孙马续“博观群籍，善九章算术”。马续是马严(17—98)的儿子，由此可推，在公元90年之前，《九章算术》已流行于世。
《算数书》和《九章算术》在体裁上都是问题集的形式。两书在体例、内容、结构上都有一脉相承的迹象。《算数书》有些部分和《九章算术》有明显的关系，如《九章算术》中的“少广”，《算数书》中也有这个标题，而且两者文字近似；“刍童”(上、下底面都是长方形的棱台体)的求积公式与《九章算术》基本一致。《九章算术》的内容全部包括了《算数书》的内容，而《算数书》的编写词句略逊于《九章算术》，内容不及《九章算术》完备、系统，比如《算数书》关于分数、除法、问题的提出与发问、答案等的表示方式极不统一。
然而，《算数书》是我国现已发现的最古的一部算书，其大部分算题形成至迟不会晚过秦代，比现有传本的《九章算术》还要早近200年。《九章算术》是传世抄本或刊书，《算数书》是出土的竹简算书，属于更珍贵的第一手资料。不过，《算数书》还不是成熟的数学书。有学者指出其多数条目之间仍显松散，没有组织成体系，不是一本精心策划的数学专著，其性质属于一部撮编的问题、方法、标准等的文集。《算数书》是中国数学史上的重大发现，为追溯《九章算术》的历史源提供了条件，同时也为研究先秦社会的经济、政治制度及哲学思想提供了珍贵的资料。
