改变命运的数学课

对狄拉克产生重要影响的，还有一位更重要的人物，这就是布里斯托尔大学数学系主任哈希（Hasse）。哈希很早就注意到狄拉克，也听说这所学校不适合这个孩子。1921年9月，狄拉克获得工程学位后，准备去找工作。使他感到沮丧的是，因为工厂实习成绩很糟，许多工厂不愿接纳他，而他也不喜欢工厂的工作。哈希觉得这个小伙子进工厂太可惜，建议他不忙找工作，到数学系学三年数学再说，特意准许他免费听课，狄拉克欣然接受这个建议。当时，无论是狄拉克还是哈希，都没有意识到此举的重大意义。设想一下，如果狄拉克真的到一间工厂上班，不只是他的命运，就连物理学的发展进程都要改写。

在班里，狄拉克的年龄最小。令同学惊讶的是，这个不爱说话的男孩子竟然已经拿到工程学学位。不久，他们还发现，他有一个突出的特点，不仅绝顶聪明，而且非常认真和执着。

有一次，一位老师正在讲课，讲到一半突然停下来，盯住黑板发愣。在两块半的黑板上，已经写满密密麻麻的符号和公式。忙着抄写的同学这才发现，课讲不下去了。这位老师愣了好一会儿，然后面向大家说：“好像在哪里出了错。”接着，他转过头来，问狄拉克：“你能把它指出来吗？”狄拉克不但立刻把错误指了出来，还说出如何去更正它。原来，狄拉克早已注意到这个错误。这件事令同学们对这个纤弱的小子刮目相看。［20］

在数学系的第一年，狄拉克学习纯数学和应用数学。他喜欢这里的课，感觉如鱼得水般的愉快。有一位叫弗拉索（Fraser）的老师，他来自农民家庭，从没有做过数学研究，也没有发表过数学论文，却把全部精力倾注到了教学上。他的课每周三次。狄拉克跟随他学习投影几何，他熟练地掌握了物体在不同平面投影的数学表述，也学会了如何再由数学表述，得出物体的形状、大小及相互间的位置关系。他发现，这种方法要比用代数方法简洁得多。弗拉索在传授知识中特别强调，数学的价值在于它严格、精确而坚定不移地遵从逻辑关系。这种教育对于工科出身的狄拉克来说非常重要。由于对数学的精通和对教学的忠诚，弗拉索的课非常精彩，以致几十年以后，狄拉克提起他，还称这是他所遇到的最好的老师。［21］

这一时期，狄拉克还接触到格拉斯曼代数，从中学到四元数。他仔细阅读了哈密尔顿关于四元数的文章。哈密尔顿（Hamilton）是19世纪爱尔兰的数学家。在哈密尔顿众多的成就中，最重要的就是发现四元数法。这种方法揭示出数相乘之中的交换律与不可交换律，如物理标量相乘，呈现可交换律，而在矢量和张量相乘中，将出现不可交换律。狄拉克学习哈密尔顿是如何利用他的数学重建牛顿力学的。哈密尔顿最大范围地扩大了力和质量的概念，以致最后将它们取消，代之以系统的能量、动量等特征函数。他利用广义坐标和特征函数，把力学系统的作用规律完整而简洁地表述出来。虽然这种方法与牛顿的力学原理等价，但是它却能把牛顿的各种原理统一起来，不仅使力学规律得到简化，而且在研究方法和法则上也截然不同。在处理流体、多极天体以及微观世界的力学问题时，利用最小作用原理将比牛顿力学大为简便。这种方法使狄拉克着迷，成为他日后研究理论物理常用到的一种重要方法。(https://www.daowen.com)

哈希鼓励狄拉克，希望他在数学系的最后两年中，要更大范围地选修尽量多的课。于是，狄拉克选了廷德尔（Tyndall）教授的原子物理课。在这门课上，狄拉克接触到量子论的新思想，也接触到正在形成的量子论的新方法。

后来证明，这三年数学系的课，对狄拉克起着决定性的作用。过去工程学课上，他反复听到的是，数学不具有实质性。虽然它可以做到很精确，但只是一种用于检验和测量的工具，只有用这种工具所得到的答案才具有实质性用途。但是通过数学系三年的学习，狄拉克不仅打下坚实的数学知识基础，而且还从数学高度，反复对物理学建立过程进行了思考。他认识到，要想得知自然界的规律，要想用最简洁的语言表述自然规律，最好的方法就是利用数学。当然工程学的近似理论对这一信念也给予了补充，例如在工程学的数值估算中，如何估算系统中各因素对结果的影响，如何略去非重要因素取得一级近似，如何进而通过微扰法求得二级近似等方法。狄拉克最初认为，科学研究的目标是找到表述自然规律的方程，但是学了工程学中的近似理论以后，对初期的想法又做了补充，这就是自然界的基本方程永远是近似的，科学家的职责就是要找到与事实尽量接近的好结果。在他们的前方，永远有着既令人好奇又难以完全达到的诱人前景。只有充分认识到这一点，才能真正地建立起科学研究的使命感与信心。［22］

回头审视狄拉克的工程学学习，我们看到，一个具有忍耐和坚韧特性的天才是难以被埋没的。尽管工程学科不适合狄拉克，尽管在4年工科专业的学习中，不少课程曾令狄拉克感到厌倦，尽管工厂实习他得到此生最坏的成绩，但是由于狄拉克的忍耐和坚韧，这4年反倒成就了他。他在日后不仅更加坚韧，而且具有数学、物理与工程的基础，成为一个与众不同的难得的理论物理人才。