正则变换与狄拉克方程
在福勒的建议下，1926年，狄拉克到玻尔研究所访问。卢瑟福向玻尔介绍这位年轻人：“这个狄拉克，物理知道不少，可就是话不多。”卢瑟福深知狄拉克，怕玻尔对狄拉克批评太多，他向玻尔讲了一个故事。他说，有一个人去宠物店买了一只鹦鹉，想教它开口说话，可是没有成功，他只得到宠物店又换了一只，还是没成功。他生气了，质问店主，为什么它们都不开口？店主想了想回答说，“啊，实在对不起，你希望要会说话的鹦鹉，可我们这里的鹦鹉很会思考。”这件事援引自惠勒（Wheeler）的书（1998，p.128-9），同样在1932年4月24日，克劳泽（Crowther）也提到过同样的故事，是他在玻尔的午茶会上听玻尔讲到的［36］。
玻尔对狄拉克表示了热烈欢迎，带他到处游览，领他到家里做客，参加各种家庭聚会。尽管狄拉克从玻尔那里知道了“作为一个著名物理学家也可以有丰富的爱好和家庭生活”，但是他还是喜欢一个人独处。
玻尔研究所的人从没有见过这么古怪和孤僻的人。这里的一位同事是这样形容他的：“通常，他坐在图书馆的最后一间屋，以一种很不舒服的姿势，一坐就是一整天，整个人沉浸在思绪中。我们都怕打搅他，不敢进这间屋。他没完没了地写，虽然写得很慢，但是从不被任何事情打乱。”［37］
在图书馆，狄拉克仔细研究薛定谔方程。发现这个微分方程虽然成功地表述了电子的某些性质，但是存在两个问题：其一，作为一个关于电子能量的方程，它不适用爱因斯坦的狭义相对论形式，也就是说不具有相对论条件下的协变性质；其二，它没有把电子的自旋性质囊括进去。而电子的自旋，就像它的质量、电量一样，也是电子的重要性质。
当时狭义相对论已被广泛接受，而电子的自旋已经在1925年由乌伦贝克和古兹密特提出，由于成功地解释了原子光谱的精细结构和反常塞曼效应也被广泛接受。此外，狄拉克还认为，量子力学不需要不同的声音，矩阵力学也好，波动力学也好，如果研究对象是一个，又都得到同样的结果，那它们就应该有一个单一的表述形式，这个形式应该使用更为优美的数学语言。现在，表面上两种形式不同，只是所采用的方法不同、所使用的语言符号不同而已，在这两种符号之间，一定可以找到一种方法相互变换。
经过反复努力，狄拉克终于找到一个涵盖两种理论的广义量子理论。在这个理论中，他提出一种变换规则，由于它与哈密尔顿正则变换相似，后来被称为“狄拉克正则变换”。这个规则不仅揭示了两个理论的关系，而且进一步给出薛定谔方程更新的解释。薛定谔波并不像人们想的那么神秘，它只是一个关于微观粒子能量和位置几率的数学表征。此外，狄拉克还把玻恩对薛定谔波的解释也包容进去，并且指出了如何计算出可以检测的粒子可能状态的几率值。
1927年2月，狄拉克离开哥本哈根来到德国的哥丁根，这时奥本海默已经通过博士论文答辩，正在寻求自己的专业方向。狄拉克的到来，对他有很大影响，最终使他确定了专业方向。奥本海默晚年的时候，曾回忆道：“在我的一生中，恐怕最令人兴奋的事是狄拉克来到（哥丁根），他给了我一份关于辐射量子理论的校样。”当他读过狄拉克的这个“神秘的理论”时，他感到这个理论“实在是漂亮极了”［38］。在这个圈子里，他们两个好像是异类，都不喜欢喝酒和吸烟，也不善于交友和言谈。在周末，奥本海默和这里的年轻人喜欢乘火车到柏林去玩，但是狄拉克却喜欢独自在郊区沿着一条河长途步行或去爬雪山。他发现自己喜欢上了这个地方，对他来说，这里就像是德国的剑桥。这里有他喜欢的一切，有世界上最著名的大学，有引领世界的著名理论物理学家，有能在附近步行的乡间小路，有森林和山坡，他可以远离喧嚣，独自享受自然的宁静。在哥丁根，狄拉克还结识了理论物理学界的其他一些朋友，其中最亲近的是埃伦费斯特。(https://www.daowen.com)
这一时期，狄拉克研究辐射理论时，他运用二次量子化的技巧，把波函数量子化，进一步将光子辐射与玻色—爱因斯坦统计联系起来。利用这个方法，他把粒子群的量子态用各自能态分布表示，并用粒子的产生与湮灭对应量子态的改变。此时，他证明将电磁场以光子处理或以量子化处理完全等价。他的这一工作为物理学的新领域——量子场论，奠定了基础。而他所引入的二次量子化则成为他后来相对论量子电动力学的基础。
这年10月，狄拉克回到剑桥。就是在这一年，他对量子力学做出最大的贡献，这就是提出相对论电子量子力学方程，后人简称为狄拉克方程。
建立方程的过程相当艰难。一开始，他首先着眼的问题是电子的自旋。像当时其他理论物理学家一样，他不明白为什么电子会拥有两种不同的自旋状态。为了解决这个问题，他要建立一个相关的方程。他早就注意到，在海森堡和薛定谔方程中，都没有考虑到电子的相对论效应。于是他为这个方程提出三个要达到的目标：其一是这个方程必须考虑狭义相对论效应，也就是必须具有狭义相对论条件下的协变性质；其二是方程必须与他原先提出的变换定则理论相一致；最后是如果与光速相比，电子的运动速度相对较小时，这个方程将退化为现有的量子力学方程，也就是说，它应当囊括原有的量子理论。这样一来，检验原有量子理论的实验，也将成为对此方程的实验检验。此外，这个方程还应该有两条线索，它应该与电子的能量与动量相关。另一条线索来自泡利独立发现的对电子的表述，它以矩阵形式表示，有两排、两列四个因数。
设计好这些条件之后，狄拉克做了一个又一个尝试，每次都得不到满意的结果，直到这一年11月末，他终于找到一个合适的方程。这个方程不仅优美，还展示出非常惊人的性质。它既能表述出电子的自旋，也能展示出它的磁矩，而且计算出的数据恰与实验结果相一致。由于这个方程建立在量子力学和狭义相对论的基础之上，使方程不仅具有非常完美的协变性质，同时还进一步说明自由电子的能量、动量都是相对论量，而不是绝对量。狄拉克将这一结果寄到英国皇家学会《进展杂志》发表。
莫特（Mott）是在剑桥与狄拉克关系最近的同事，提起狄拉克方程，他说：“狄拉克想出来的这些东西（指狄拉克的量子电动力学方程），从来没有向我提起过。我感觉就像从天上掉下来的一样。”［39］这个“从天上掉下来的东西”，成为狄拉克一生对物理学的最伟大贡献。
由于在多方面的开创性工作，狄拉克已经成为物理界的知名人物。他接到参加1927年第五届索尔维会议的邀请，这次会议专门研究电子与光子问题。同年，他又被选为圣约翰学院的院士，并于1929年受聘为数学物理高级讲师。他的下一个目标是进一步寻求相对论性的电子量子理论的方程解。
