2.4.2　异质平均场方法

2.4.2　异质平均场方法

为了更准确地体现网络的结构，在2001年，Pastor-Satorr和Vespignani[42]开始运用异质平均场（Heterogenous mean-field，HMF）方法求解复杂网络上的传播动力学。使用异质平均场方法时，需要按照节点的度将感染的节点分类，所有度相等的节点被视作是同一类节点（或者说度相等的节点是平等的）。在时刻t，度为k的节点处于感染状态的概率为ρk（t），则此时系统中处于感染状态的节点的比例为

式中，P（k）是网络的度分布。在度无关联的网络中，一个易感节点连接到感染状态的邻居的概率为

式中，kmax是网络中节点的最大度数。ρk（t）的演化方程为

与平均场方法类似，式（2-4-6）右边第一项代表节点从感染状态恢复到易感状态的比例，第二项代表易感节点被感染的比例。不难发现，这里的具体原理与平均场方法相同，只是在异质平均场方法里，节点被按照度进行了分类，这里不详细展开说明。

令，因为初始时刻，只有少数节点被感染，ρk（0）→0，那么在ρk（0）→0附近线性展开式（2-4-6），可以得到：

式中，式（2-4-7）最后结果的第一项为kmax阶方阵表示方阵里的元素。(https://www.daowen.com)

由于ρk（0）→0，式（2-4-7）可以再简化为

式中，C={Ckk′}为Jacobian矩阵，其元素为

式中，δk，k′是Dirac delta函数，k=k′时，δk，k′=1，否则，δk，k′=0。在初始的时刻，如果ρ（t）指数增长，即那么疾病将会暴发。此时矩阵C 的最大特征值所以疾病暴发的阈值为

式中，＜k＞和＜k2＞分别为度分布的一阶矩和二阶矩。通过式（2-4-10）可发现，异质平均场这一求解方法的一大优点就是通过度分布的一阶、二阶信息就可以预测暴发阈值，反映出网络结构对暴发阈值的影响。

对于同质性网络，比如ER 随机网络，使用异质平均方法求解的暴发阈值为这与使用平均场方法求解的结果略有差异，此时，如果网络的平均度较小，两者求解的差异就会比较大。在描述疾病的传播动力学中，异质平均场方法应用地十分广泛，这是因为：①只要知道度分布，就可以使用这一方法；②该方法能够揭示拓扑结构的异质性如何影响疾病传播。目前，已经有许多研究使用异质平均场理论探究权重分布[43]、度间关联性[44]、多样性[45-47]对传播动力学的影响。

然而，由于异质平均场方法假设邻居间的状态是相互独立的，邻居状态之间的动态关联被忽略了，这会导致该方法在一些场景下是失效的。