2.4.3　淬火平均场方法

2.4.3　淬火平均场方法

然而，无论是平均场理论还是异质平均场理论，都没有描述整个网络结构的所有信息，因此科学家们利用邻接矩阵A 来刻画网络的所有特性，矩阵的元素Ai，j代表网络中的两个节点是否连接，如果Ai，j=1，那么这两个节点之间有边连接，这就是淬火平均场（Quench mean-field）方法。注意到还有其他方法也使用邻接矩阵A 来刻画网络，比如离散马尔可夫链（Discrete-time Markov Chain）方法[48]和N 缠绕（N-intertwined）方法[49，50]，这些方法也可归类为淬火平均场方法。

令ρi（t）=1-si（t）为节点i在时刻t处于感染状态的概率，则在t时刻处于感染状态的节点比例为

在t时刻，易感节点i被邻居感染的概率为因此ρi（t）的演化方程为

同样地，等式右边第一项表示在t时刻，节点i恢复的概率，第二项表示节点i被感染的概率。初始时刻，节点i处于感染状态的概率很低，即ρi（0）→0。令ρ（t）=[ρ1（t），…，ρN（t）]T，对式（2-4-12）在ρi（t）→0处线性展开，并改写成矩阵形式：

改写为矩阵形式的方法与异质平均场方法类似，这里不展开推导。同样地，如果ρ（t）指数增长，即那么疾病将会暴发，这意味着矩阵βA-E 的最大特征值βΛA-1＞0，所以疾病暴发的阈值为(https://www.daowen.com)

式中，ΛA为矩阵A 的最大特征值。由淬火平均场方法预测的疾病阈值只依赖于网络的拓扑结构。在无关联的SF 网络中，度分布服从幂律分布P（k）～k-v，如果v＜2.5，这与异质平均场理论的预测结果相同；但当意味着在理论极限下不存在暴发阈值[51]，这一结果与异质平均场理论的预测相反。

淬火平均场理论使用邻接矩阵来描述网络拓扑结构，相比平均场理论和异质平均场理论，可以更准确地预测疾病的规模和疾病的暴发阈值。然而，淬火平均场理论也忽略了邻居状态之间的动态关联，这就导致了理论结果和数值仿真之间存在差异。

为了量化最大特征值ΛA对应的特征向量的局域性，Goltsev等人[52]定义了参与反比率（Inverse Participation Ratio，IPR）：

式中，fi（ΛA）是ΛA对应的特征向量f（ΛA）的第i个元素。如果f（ΛA）是非局域特征向量，v（ΛA）∝O（o）；如果f（ΛA）是局域特征向量，v（ΛA）∝O（1）。在这篇文章里，Goltsev等人指出，v＜2.5时，f（ΛA）是非局域特征向量，这意味着当时，疾病有限规模地暴发。而当v＞2.5时，f（ΛA）是局域特征向量，意味着只有中心和它的邻居节点被感染，因此疾病增长得十分缓慢，可能会因为季节性疾病而消亡。因此，他们得出结论：这种局域状态并不真正构成活跃状态，疾病的暴发阈值更接近于由异质平均场得出的结论。

最近，Pastor-Satorras和Castellano进一步证明了，当v＞2.5时，f（ΛA）在中心点局域；而当v＜2.5时，f（ΛA）局域于k核分解中具有最大索引的节点上[53]。为了真正地理解淬火平均场理论在预测暴发阈值时偶尔失效的原因，必须理解f（ΛA）的物理意义：f（ΛA）可被认为是一个节点的中心，即特征向量中心[54]。特征向量中心性为每个节点分配一个与其邻居特征向量中心之和成比例的中心性。然而，具有高集中度的中心会在其邻居中引起较高的集中度，而邻居又将这种高集中度反馈给中心。最终，中心的集中度被高估了。那么同样地，节点处于感染状态的概率也被高估了，这就是淬火平均值理论预测失效的原因。