1.2.3　条件概率空间与事件的独立性

1.2.3　条件概率空间与事件的独立性

本节在概率空间上讨论问题,首先给出条件概率空间的概念.

1.条件概率空间

定理1.2.3设(Ω,F,P)为一已知概率空间,B∈F,P(B)＞0.若定义F上的集合函数

则P(A|B)是F上的概率,即P(A|B)满足：

(1)0≤P(A|B)≤1,A∈F;

(2)P(Ω|B)=1;

(3)若Ai∈F,i=1,2,···,AiAj=∅,i／=j,有

证明从略.

定义1.2.5设(Ω,F,P)为一已知概率空间,B∈F,P(B)＞0.记

称(Ω,F,PB)为(Ω,F,P)在条件B下的条件概率空间.

条件概率空间有下面的性质.

定理1.2.4设(Ω,F,PB)为(Ω,F,P)在条件B下的条件概率空间.若记ν(A)=PB(A),A∈F,又C∈F,且ν(C)＞0,(Ω,F,ν)在条件C下的条件概率空间为(Ω,F,νc),则有

证明从略.(https://www.daowen.com)

以下假定所涉及的事件类都是在同一概率空间(Ω,F,P)上的.

2.事件的独立性

定义1.2.6设A1,···,An是n个事件.若对任意1≤m≤n,任意的1≤k1＜k2＜···＜km≤n,都有

则称A1,···,An独立.

显然,若A1,···,An独立,则其中任意m(m＜n)个也独立,特别地,其中任意两个也独立,但反之不然.

定理1.2.5假设A1,···,An独立,若将其中的m(1≤m≤n)个事件换成各自的对立事件,则所构成的n个事件也独立.

事实上,由概率的可减性和A1,···,An独立可得,

其中1≤m≤n-1,2≤j1＜j2＜···＜jm≤n.

证毕

定义1.2.7设{At,t∈T}是F中的事件类.若对T的任一有限子集{t1,···,tn}(n≥2),有

则称At,t∈T独立.

事件独立性的概念可以推广到事件类的独立性,因为需要用到测度论的知识,这里不做介绍.