2.3.1　高维随机变量及其分布

2.3.1　高维随机变量及其分布

定义2.3.1设X1,X2,···,Xn是定义在概率空间(Ω,F,P)上的随机变量,则称

为一个n维随机变量或随机向量,它取值于R(n).

不难看出,(Ω,F,P)上的n维随机变量X=(X1,X2,···,Xn)是可测空间(Ω,F)到(R(n),B(n))上的可测函数.

利用测度论方法可以证明:∀Bn∈B(n),

定义2.3.2设Xj(j=1,···,n)是(Ω,F,P)上的复随机变量,则称(X1,···,Xn)为(Ω,F,P)上的n维复随机变量.

定义2.3.3称n元函数

为随机变量X=(X1,···,Xn)的分布函数,或X1,···,Xn的联合分布函数.

定理2.3.1分布函数F(x1,···,xn)具有下列性质:

（1）对于任一xi(i=1,2,···,n),F(x1,···,xn)关于xi是单调不减的;(https://www.daowen.com)

（2）对于任一xi(i=1,2,···,n),F(x1,···,xn)关于xi是右连续的;

（3）对于a=(a1,···,an),b=(b1,···,bn),ai,bi∈R(1),ai≤bi,i=1,2,···,n,

利用概率的不减性可以证明（1）;利用概率的连续性可以证明（2）和（4）的第一式,（4）的第二式可用概率的连续性及归纳法证明;利用归纳法可以证明（3）：Δ(a,b]F=P{a1＜X1≤b1,···,an＜Xn≤bn},因而（3）成立.

注2.3.1当n=2时,由性质（3）得

一般地,∀Bn∈B(n),

对于高维分布函数,也有如下的存在性定理.

定理2.3.2(存在性定理)设F(x1,···,xn)为已知的n维分布函数,即满足定理2.3.1的(1),(2),(3)和(4),则存在概率空间(Ω,F,P)及定义在其上的n维随机变量X,使X的分布函数恰好是F(x1,···,xn).