3.1.5　关于数学期望的一些说明

3.1.5　关于数学期望的一些说明

在这一节中,我们将对数学期望的概念及其性质进行补充说明.现提出这样一个问题：定义3.1.2和定义3.1.4是否等价？要回答该问题,需要下面这个定理.

定理3.1.5(积分变换定理)设X是概率空间(Ω,F,P)上的一个随机变量,X的分布函数为F(x),又设g(x)为任意一个Borel函数,则有

式(3.1.5)等号两端的积分,其中一个存在,另一个也存在,且两者相等.

证明从略（可参考文献[3]中的定理4.3）.

这表明定义3.1.2和定义3.1.4是等价的.

关于数学期望的性质,本科概率论中已介绍了一些,为方便读者,这里做一些补充.关于这些性质的证明,大多可在概率论相关的教科书中找到,此处从略.

下面讨论的随机变量均定义在某个概率空间(Ω,F,P)上.

(1)E(C)=C,C为常数.

(2)线性性质：设a,b,ai(i=1,2,···,n)为任意常数,则

(3)若X,Y独立,则

其中g,h为Borel函数.n个相互独立的随机变量也有类似的性质.

(4)若X≥0,且E(X)存在,则E(X)≥0.

(5)若0≤X≤Y,且E(Y)存在,则E(X)存在,且E(X)≤E(Y).(https://www.daowen.com)

(6)若E(X)存在,则|E(X)|≤E|X|.

(7)若E(Xk),k＞0存在,则对任何r(0≤r＜k),E(Xr)存在.

(8)（Cauchy-Schwarz不等式）若E(X2),E(Y 2)存在,则E(XY)存在,且有

关于随机变量函数的数学期望的计算,有下面的结果.

定理3.1.6(1)设随机变量X的分布函数为F(x),g(x)是一元Borel函数,Y=g(X).若E(Y)存在,则

(2)设随机向量(X1,X2,···,Xn)的分布函数为F(x1,x2,···,xn),g(x1,x2,···,xn)是n元Borel函数,Y=g(X1,X2,···,Xn).若E(Y)存在,则

特别地,若(X1,X2,···,Xn)为连续型随机向量,概率密度为f(x1,x2,···,xn),则

定理3.1.6的优越之处在于,求Eg(X)或Eg(X1,X2,···,Xn)时,不必求出g(X)或g(X1,X2,···,Xn)的分布,直接借助于X或(X1,X2,···,Xn)的分布,便可获得结果.

类似地,我们可以得到随机变量的高阶矩概念.下面来看两个例子.