3.2.3 关于σ-代数的条件数学期望
下面给出如下定理.
定理3.2.3设X是随机变量且E(|X|)＜∞,则对每个子σ-代数B⊂F,存在唯一的（在几乎必然相等的意义下）随机变量X*,使得E(|X*|)＜∞,X*是B随机变量,即对任何a∈R(1),有{X*≤a}∈B,并且对所有的B∈B,E(X*IB)=E(XIB).我们称随机变量X*为X在给定B下的条件期望,记为X*=E(X|B),有
令L1表示满足E(|X|)＜∞的全体随机变量X所组成的集合.
定理3.2.4(1)若X∈L1,则E[E(X|B)]=E(X).
(2)若X是B-可测随机变量,则E(X|B)=X,a.s..
(3)若X=Y,a.s.且X∈L1,则E(X|B)=E(Y|B),a.s..
(4)若a,b∈R(1),X,Y∈L1,则
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(5)若X,Y∈L1且X≤Y,a.s.,则E(X|B)≤E(Y|B),a.s..
(8)若B1,B2是两个σ-代数,且B1⊂B2⊂F,则
(9)若X,Y是两个独立的随机变量,函数φ(x,y)使得E(|φ(x,y)|)＜+∞,则
这里E[φ(X,y)]|y=Y的意义是先将y视为常数,求得数学期望E[φ(X,y)]后再将随机变量Y代入y的位置.
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