3.2.1　关于事件的条件数学期望

3.2.1　关于事件的条件数学期望

下面用初等方法引入关于事件的条件数学期望的概念,并讨论其基本性质.

定理3.2.1若X在Ω上关于P的数学期望E(X)存在,P(B)＞0,则E(X|B)存在,且

它的证明需要分3步完成：（1）证当X为非负简单函数时结论成立;（2）证当X为非负随机变量时结论成立;（3）证当X为一般随机变量时结论成立.

推论3.2.1若X与IB独立,则E(X|B)=E(X).

证由定理3.2.1可知,对于每个i,有

即

对i=1,2,···,n求和,有(https://www.daowen.com)

从而可知定理第一部分的结论成立.当B=Ω时,E(XIB)=E(X),即第二部分的结论成立.

证毕

为理解以上概念,下面给出附注.

注3.2.1(1)E(X|B)的实际意义为X在B上的平均值：

(2)当X=IA时,E(IA|B)=P(A|B),这就是说,条件概率是条件数学期望的特例.

(3)文献[2]这样定义条件数学期望：设X为概率空间(Ω,F,P)上的一个随机变量,B为事件（B∈F）,且P(B)＞0,X关于事件B的条件分布函数为F(x|B),则X关于B的条件数学期望为

(4)类似可定义g(X)关于事件B的条件数学期望E[g(X)|B].

以下例子选自文献[2].

例3.2.1设随机变量序列{Xn,n≥1}同分布,每个Xi取非负值,且E(Xi)存在.又设随机变量Z取正整数值,且E(Z)存在.假定{Xn}与Z相互独立.令Y=X1+X2+···+XZ,试求E(Y).

解利用全期望公式以及独立性假定,有